Chute d'une bille dans un liquide visqueux

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

Soit une bille d'acier sphérique de masse $m$ , de masse volumique $\rho$ et de rayon $R$ . On la lâche sans vitesse initiale dans une éprouvette remplie d'eau (masse volumique $\rho_0$ et viscosité dynamique $\eta$ ). On note $g$ le champ de pesanteur, supposé uniforme et on posera $g'=g(1-\rho_0/\rho)$ . L'axe (Oz) est vertical ascendant et on pose $\vec v = -v \vec e_z$ .

Question:

On cherche à déterminer la traînée exercée sur la sphère. Cette force exercée par le fluide sur la sphère est fonction de $v$ , $R$ , $\rho_0$ et $R_e$ . La force de traînée peut se mettre sous la forme :

$\begin{aligned} F = \dfrac{\pi}{2}C_x(R_e) R^\alpha v^\beta \rho_0^\gamma \end{aligned}$

où $C_x(R_e)$ représente une fonction de $R_e$ et $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des nombres rationnels. Par une analyse dimensionnelle, déterminer leurs valeurs.

??? note "Réponse" On obtient $F = \dfrac{\pi}{2} C_x (R_e) R^2 v^2 \rho_0$ DCBA

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!!! question "Question:"

Expérimentalement, on observe un nombre de Reynolds de $2.10^4$ pour l'écoulement de l'eau autour de la bille. Pour ce type d'écoulement, le coefficient $C_x$ dépend-t-il du nombre de Reynolds ? Proposer alors une expression pour $\vec F$.

Réponse

A l'aide de nos connaissances sur le diagramme de Moody, on observe que le coefficient $C_x$ est indépendant du nombre de Reynolds lorsque $R_e > 5000$ ce qui est bien le cas ici. On a alors simplement : $\vec F = \dfrac{\pi}{2} C_x R^2 v^2 \rho_0 \vec e_z$ (force opposé au mouvement)

Question:

Quelle est alors l'équation différentielle vérifiée par $v(t)$ ?

Réponse

On applique le PFD à la bille :

$\begin{aligned} -m \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\pi}{2} C_x R^2 v^2 \rho_0 - mg + \rho_0 V g \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} +\dfrac{\pi}{2m} C_x R^2 v^2 \rho_0 = g(1- \rho_0/\rho ) = g' \end{aligned}$

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre et non linéaire.

Question:

En déduire l'existence et l'expression de la vitesse limite notée $v_l$ .

Réponse

En régime permanent, on a $\dfrac{\mathrm{d} v_l}{\mathrm{d} t}=0$ et on en déduit $v_l = \sqrt{\dfrac{2mg'}{\pi R^2 C_x\rho_0}}$

Question:

Réécrire l'équation différentielle en faisant apparaître cette vitesse limite puis la résoudre complètement.

Réponse

On reprend l'équation du mouvement :

$\begin{aligned} \dfrac{1}{g'}\dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} + \dfrac{\pi C_x R^2 \rho_0}{2mg'} v^2 = 1 \Rightarrow \dfrac{v_l}{g'} \dfrac{\mathrm{d} v/v_l}{\mathrm{d} t} + \left( \dfrac{v}{v_l} \right) ^2 = 1 \end{aligned}$

On peut ensuite utiliser la méthode de séparation des variables :

$\begin{aligned} \dfrac{v_l}{g'} \dfrac{\mathrm{d} v/v_l}{\mathrm{d} t} = 1-\left( \dfrac{v}{v_l} \right) ^2 \Rightarrow \dfrac{d(v/v_l)}{1-(v/v_l)^2} = \dfrac{g'}{v_l} dt \Rightarrow \dfrac{d\epsilon}{1-\epsilon^2} = \dfrac{g'}{v_l} dt \end{aligned}$

en posant $\epsilon = v/v_l$ . On peut ensuite intégrer cette relation entre les instants $t=0$ et $t=T$ soit :

$\begin{aligned} \arctanh(\epsilon(T) ) - \underbrace{\arctanh(\epsilon(0))}_{=0 \text{ (CI) }} = \dfrac{g'}{v_l}(T-0) \Rightarrow v(t) = v_l \tanh \left( \dfrac{g't}{v_l} \right) \end{aligned}$

Question:

Critiquer le modèle utilisé.

Réponse

Le modèle proposé n'est pas vérifié au début de la chute libre lorsque la vitesse est faible.

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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