Sol glissant

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Au cours d'une de ses aventures, Indiana Jones se retrouve glissant sans frottement sur un plan horizontal verglacé, relié par une cordelette inextensible et de masse négligeable à un poteau d'axe vertical placé en $O$. La cordelette peut tourner librement autour du poteau (sans frottements)

Pour simplifier, on assimile notre héros à un point matériel $A$ de masse $m$.

Question:

Indiana Jones tourne autour du poteau à la distance $l=OA$ avec la vitesse $\vec{v}_0=v_0\vec{e}_\theta$ dans le référentiel lié au plan, supposé galiléen. Quelle est la nature de son mouvement ? Exprimez alors le module $T$ de la tension du filin.

Réponse

Comme la distance $OA$ est constante, le mouvement est circulaire et $v=r\dot{\theta}=l\dot{\theta}$.

On cherche maintenant à montrer qu'il est également uniforme.

Les forces appliquées au point matériel { $A$ } sont $\vec{T}=-T.\vec{e}_r$ la tension du fil, $\vec{p}=-mg\vec{e}_z$ le poids de $A$ et $\vec{R}$ la réaction du sol avec $\vec{R}=\vec{N}$ verticale car il n'y a pas de frottement.

Toutes ces forces sont normales au déplacement ($d\vec{r}=vdt.\vec{e}_\theta$) donc elles ne travaillent pas et par application du théorème de l'énergie cinétique, $\Delta E_c=W(\vec{T})+W(\vec{p})+W(\vec{R})=0+0+0=0 \Rightarrow E_c=Cte \Rightarrow v=Cte$ la vitesse de $A$ est constante, mouvement circulaire et uniforme.

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Après calcul, notre héros décide, pour sortir de sa situation, de "remonter" lentement de long du filin.

Question:

Montrez qu'au cours de l'opération son moment cinétique par rapport à $O$ reste constant.

Réponse

Comme il n'y a pas de frottement, $\vec{R}=\vec{N}$ et comme le déplacement est horizontal ($z=Cte$), par projection du principe fondamental de la dynamique sur l'axe $Oz$ vertical, $m \ddot{z}=-p+R=0 \Rightarrow \vec{p}+\vec{R}=\vec{0}$

La résultante des forces est donc $\vec{T}+\vec{p}+\vec{R}=\vec{T}$ centrale. Par application du théorème du moment cinétique sur le point $A$ et par rapport au point $O$ fixe dans le référentiel lié au sol considéré comme galiléen,

$$\begin{aligned} \dfrac{d\vec{L}_0(A)}{dt}=\vec{\mathcal{M} }_0(\vec{F})=\overrightarrow{OA} \wedge \vec{T}=\vec{0} \Rightarrow \vec{L}_0(A)=\vec{Cte} \end{aligned}$$

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Question:

En déduire la vitesse finale $v'$ d'Indiana Jones en $A'$ tel que $OA'=\dfrac{l}{2}$.

Réponse

Au cours du mouvement de $A$ le long du filin, comme on reste dans le cas d'une force centrale $\vec{T}$, on a toujours conservation du moment cinétique $\vec{L}_0(A)$.

Quand $OA=l$, $v=v_0$ d'où $\vec{L}_0(A)=m \overrightarrow{OA} \wedge \vec{v}_0=mlv_0 \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta=mlv_0 \vec{e}_z$.

De même, quand $A$ est en $A'$, $OA'=\dfrac{l}{2}$, $v=v'$ d'où $\vec{L}_0(A)=m \overrightarrow{OA'} \wedge \vec{v'}=m\dfrac{l}{2}v' \vec{e}_z$.

Par identification, on a alors $mlv_0=m\dfrac{l}{2}v' \Rightarrow v'=2v_0$.

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Question:

Exprimez la variation d'énergie mécanique au cours de la remontée.

Réponse

La seule force conservative appliquée à $A$ est son poids mais il ne travaille pas donc son énergie potentielle ne varie pas et $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p=\Delta E_c=\dfrac{1}{2}mv'^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{1}{2}m(4v_0^2-v_0^2)=\dfrac{3}{2}mv_0^2>0$ : gain d'énergie mécanique.

Le rôle d'Indiana Jones était d'augmenter l'énergie mécanique du système par apport d'énergie d'origine musculaire.

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On note que la cordelette peut se rompre lorsque $T>T_0$

Question:

Du point de vue énergétique, quel a été le rôle de notre héros ? Discutez de ce qui va arriver s'il continue sa remontée.

Réponse

Par conservation du moment cinétique, $mrv=mlv_0 \Rightarrow v=\dfrac{v_0l}{r}$ la vitesse de $A$ pour $OA=r$. La vitesse de $A$ va tendre vers l'infini quand $r$ va tendre vers 0 (il faudrait un apport d'énergie infini). On peut, par application du principe fondamental de la dynamique montrer que $T=\dfrac{mv_0^2}{r}$ va également tendre vers l'infini, le filin va rompre.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : L'essentiel de la Méca Ellipse + V. Grenard