Décollage d'une fusée

Partie: Mecanique

niveau: PT

On étudie une fusée qui décolle. Elle a donc un mouvement selon $Oz$ et on suppose que le champ de pesanteur est uniforme (début de la phase de décolement, au voisinage du sol). Pour se propulser, la fusée éjecte de ses réservoirs du fluide avec un débit massique $D_m$ constant et une vitesse relative (par rapport à la fusée donc) $-u \vec e_z$ aussi constante. On note donc $m(t)$ la masse de la fusée.\ La poussée d'archimède sera négligée dans toute la suite de l'exercice.

Question:

Justifier la nécéssité de se ramener à l'étude d'un système fermé pendant la durée $dt$.

Réponse

La fusée perd de l masse au cours du temps et ne contitue donc pas un système fermé. On doit alors etudier un système fermé incluant les gaz ejectés pendant la durée $dt$

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Question:

Donner l'expression de la masse $m(t)$ de la fusée au cours du temps

Réponse

On a simplement $m(t) = m_0 - D_m t$ en notant $m_0$, la masse initiale de la fusée. Dans toute la suite, on oberve qu'il faut $m(t) \ge 0$ soit $t \le m_0/D_m$. En pratique, la masse ne deviendra jamais nulle, même lorsque le carburant sera entièrement consommé.

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Question:

Montrer que la vitesse de la cette dernière vérifie l'équation différentielle

$$\begin{aligned} m(t) \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = - m(t) g + D_m u \end{aligned}$$

Réponse

On considère le système fermé formé par la fusée (et son carburant non ejecté) à l'instant $t$ puis par la fusée, le carburant restant dans les reservoirs et le crburant qui vient d'être ejecté à l'instant $t+dt$. On obtient alors

$$\begin{aligned} &P(t) = m(t) v(t) \text{~~et~~} P(t+dt) = m(t+dt) v(t+dt) + D_m dt (v(t+dt)-u) \\ \Rightarrow &P(t+dt)= m(t) v(t+dt) - D_m dt v(t+dt) + D_m dt (v(t+dt)-u) = m(t) v(t+dt) - D_m dt u \end{aligned}$$

On en déduit par application du PFD au système fermé dans le référentiel terrestre lié au sol et supposé galiléen que

$$\begin{aligned} \lim\limits_{dt \to 0} \dfrac{P(t+dt) - P(t)}{dt} = m(t) \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}(t) - D_m u = -mg \Rightarrow m(t) \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}(t) = D_m u - mg \end{aligned}$$

d'où le résultat.

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Question:

En déduire l'expression de $v(t)$ lors du début de la phase de décollage ($g$ supposé constant).

Réponse

On a alors à résoudre l'équation suivante :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \dfrac{D_m u - mg}{m} \Rightarrow\dfrac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = u\dfrac{D_m}{m_0}\dfrac{1}{1 - D_m t/m_0} - g \Rightarrow v(t) = -u\ln\left( 1 -\dfrac{D_m }{m_0}t \right) - gt + C \end{aligned}$$

or à $t=0$, on a $v(0)=0$ d'où $C=0$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : inventé