Arbre Bronchitique

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

Dans un arbre bronchique, les voies respiratoires se divisent par dichotomie avec une réduction systématique de la longueur et du diamètre. Dans le problème, nous allons supposer que la trachée se divise en deux bronches. Chacune d'elles se divise à son tour en deux autres, et ainsi de suite.

Nous notons générations les différentes subdivisions qui seront indicées par les nombres successifs, $p$ : la trachée est la génération $p = 1$, les bronches, $p = 2$, et ainsi de suite. Nous nous plaçons en régime permanent et l'air est assimilé à un fluide de viscosité dynamique $\eta$.

Il y a 23 générations de voies aériennes dont les 16 premières sont conductrices. Une bronchiole de génération $p$ est assimilée à un cylindre de rayon $r_p$ et de longueur $l_p$. La figure représente les quatre premières générations d'un arbre bronchique, à chaque génération chaque dimension longueur et rayon est multipliée par la constante $h<1$, identique, pour les deux dimensions.

On admet généralement que la loi de Hagen-Poiseuille est valable pour $p<16$, elle exprime le lien entre le débit volumique et la différence de pression entre les extrémités d'un tuyau cylindrique $(P_e-P_s) = R_H D_V$ avec la résistante hydraulique $R_H = \dfrac{8 \eta L}{\pi R^4}$ pour une conduite de rayon R et de longueur L.

Question:

Déterminer le nombre $N(p)$ de bronchioles à la pième génération en fonction de $p$.

Réponse

$N(p) = 2^{p-1}$

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Question:

Déterminer le rayon $r_p$ et la longueur $l_p$, de la bronchiole de génération $p$ en fonction de $p$, $h$, $r_1$ et $l_1$, valeurs pour $p = 1$.

Réponse

$r_p=r_1 h^{p-1}$ et $l_p=l_1 h^{p-1}$

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Question:

Calculer le volume $V_p$ d'une bronchiole de génération $p$ en fonction de $V_1$, $h$ et $p$. En déduire le volume total $V_{pt}$ , de génération $p$. On posera $X=2(h)^3$.

Réponse

$V_2=V_1h^3$ puis par récurrence, $V_p =V_1^{3(p-1)}$. Le volume de la pième génération est $V_{pt} = N(p)V_p = V_1 X^{p-1}$

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Question:

Montrer que le volume de l'arbre contenant $n$ génération est $V_t = V_1 \left( \dfrac{1-X^n}{1-X} \right)$

Réponse

Somme d'une suite géométrique

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Question:

Calculer la résistance hydraulique $R_p$ d'une bronchiole de génération $p$ en fonction de $R_1$ (résistance hydraulique pour $p=1$) et $p$. En déduire la résistance hydraulique totale de la génération $p$. Déterminer la résistance hydraulique totale de l'arbre qui contient $n$ générations.

Réponse

On a $R_p = \dfrac{R_1}{h^{3(p-1)}}$. Pour une génération, les résistances sont en donc on somme les inverses : $R_{pt} = \dfrac{R_1}{N(p) h^{3(p-1)}} = \dfrac{R_1}{X^{p-1}}$. On obtient ensuite la résistance totale en considérant les différentes générations en série :

$$\begin{aligned} R = \sum R_{pt}= R_1 \left( \dfrac{1-X^{-n}}{1-X^{-1}} \right) \end{aligned}$$

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Question:

Montrer que le volume total $Vt$ diverge quand $n$ tend vers l'infini pour $h$ supérieur à une valeur critique $h_c$ dont on précisera la valeur numérique. À quelle condition sur $h$ la résistance hydraulique diverge-t-elle ?

Réponse

Le volume diverge pour $X> 1\Rightarrow h 1> h_c = (1/2)^{1/3} \approx 0,79$. A l'inverse, l résistance hydraulique diverge pour $h<h_c$.

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Question:

Pour l'homme, $h$ a été mesuré et vaut $h=0,85$. A chaque inspiration, on considère qu'un homme inspire $\text{0,50} L$ en $\text{3} s$. Pour la trachée, on prend $l_1=\text{30} cm$ et $r_1=\text{1.0} cm$. La viscosité de l'air vaut $\eta=1,0.10-5Pl$. Estimer la variation de pression entre l'entrée et la sortie des 16 premières générations correspondant à une inspiration normale.

Réponse

$\Delta P = 0,67Pa$ (à vérifier)

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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