Ondes radio à la surface de la terre

Partie: Optique

niveau: PTSI

Un émetteur E (longueur d'onde $\lambda$) et un récepteur M d'ondes radio se trouvent au sol à la distance $D$ l'un de l'autre. Une couche atmosphérique réfléchissante horizontale se comporte comme un miroir plan vis-à-vis des ondes radio.\ Lorsque l'altitude de la couche réfléchissante est $H$, l'onde directe et l'onde réfléchie sont en phase ; quand l'altitude devient $H + h$, $M$ ne reçoit aucun signal.

Question:

Réalisez un schéma détaillé de la situation en précisant bien les deux chemins suivis par l'onde radio.

Réponse

à faire !

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On note $\delta$ la différence de marche entre ces deux chemins. Dans cette question, on ne cherchera pas à exprimer $\delta$ en fonction des données géométrique du problème.

Question:

Que vaut $\delta$ en cas d'interférences constructives ? Destructives ? De combien $\delta$ varie-t-il lorsque l'altitude de l'atmosphère passe de $H$ à $H+h$?

Réponse

Dans le cas d'interférences constructives, on a $\delta = p\lambda$ avec $p \in \mathbb{N}$. Dans le cas d'interférences destructives, on a $\delta = (p+1/2)\lambda$ avec $p \in \mathbb{N}$ Avec un schéma, la distance parcourue par l'onde dans le premier cas est $d_1 = 2\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2}$ et dans le 2ième cas $d_2 = 2\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+(H+h)^2}$. Dans le premier cas, les interférences entre le trajet direct et le trajet réfléchie sont constructives, dans le deuxième cas, elles sont destructives, il y a donc eu une demi longueur d'onde de plus soit $\boxed{d_2-d_1 = \lambda/2}$.

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Question:

Établissez la relation liant $D,$ $H$, $h$ et la longueur d'onde $\lambda$, en supposant que $h$ est petit devant $D$ et $H$ : $h/H \ll 1 \; h/D \ll 1$.

Réponse

D'où

$$\begin{aligned} d_2-d_1 = \dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow 2\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+(H+h)^2}-2\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2(1+\dfrac{h}{H})^2}-\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{4} \end{aligned}$$

On utilise la formule fournie pour le carré :

$$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2(1+2\dfrac{h}{H})}-\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{4} \\ \Rightarrow ~~& \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2+2hH}-\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{4} \\ \end{aligned}$$

puis pour la racine on factorise par le plus grand terme pour faire apparaître quelque chose du type $\sqrt{1+\epsilon}$ avec $\epsilon \ll 1$

$$\begin{aligned} & \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2}\sqrt{1+2\dfrac{h}{H \left (1+\dfrac{D^2}{4H^2}\right )}}-\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{4} \\ \Rightarrow ~~~& \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2}\left (1+\dfrac{2}{2}\dfrac{h}{H\left (1+\dfrac{D^2}{4H^2}\right )}\right )-\sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2} = \dfrac{\lambda}{4} \end{aligned}$$

Ce qui donne au final :

$$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{D^2}{4}+H^2}\dfrac{h}{H\left (1+\dfrac{D^2}{4H^2}\right )} = \dfrac{\lambda}{4} \Rightarrow \sqrt{1+\dfrac{D^2}{4H^2}}\dfrac{h}{1+\dfrac{D^2}{4H^2}} = \dfrac{\lambda}{4} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{1+\dfrac{D^2}{4H^2}}} = \dfrac{\lambda}{4} \end{aligned}$$

d'où au final $\boxed{h= \dfrac{\lambda}{4}\sqrt{1+ D^2/4H^2}}$.

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Question:

On donne $H = \text{80,0} km$, $D = \text{200} km$ et $\lambda= \text{400} m$. Calculez $h$.

Réponse

$h=\text{160} m$.

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On rappelle pour les approximations que $(1+\epsilon)^\alpha\approx 1+\alpha \epsilon$ si $\mid \epsilon \mid \ll 1$.\ Cette approximation devra être utilisée plusieurs fois dans cet exercice.

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : V. Grenard

source(s) : ?