Association de miroirs plans

Partie: Optique

niveau: PTSI

Pour répondre aux questions suivantes, n'hésitez pas à vous aider de schémas\ Deux miroirs plans carrés $(M_1)$ et $(M_2)$, de coté $h=\text{50} cm$, sont disposés face à face, parallèlement l'un à l'autre à une distance de $D=\text{150} cm$.

On incline ensuite $(M_2)$ d'un angle de 5° par rapport à la verticale (rotation autour d'un axe horizontal passant par le bord inférieur de $(M_2)$).

Entre ces deux miroirs est placée une source Laser $S$ émettant un rayon lumineux horizontal en direction de $(M_2)$. Le rayon se réfléchit sur le bord inférieur de celui-ci.

Question:

Déterminez le nombre de réflexions ayant lieu sur le miroir $(M_1)$ avant que le rayon ne ressorte de l'espace situé entre les deux miroirs.

Réponse

Représentons la situation sur une figure : on a placé $(M_1)$ et $(M_2)$ en regard avant d'incliner $(M_2)$ de 5°.

Le rayon issu de $S$ se réfléchit en $I_2$ sur de $(M_2)$ puis en $I'_1$ sur $(M_1)$ avant de se diriger à nouveau vers vers $(M_2)$ qu'il atteindrait en $I'_2$.

Dans le triangle isocèle $I'_1I_1I'_2$, on détermine $I_2I'_2=2I_1I_2=2D.\tan \alpha \simeq 53$ cm $> h=50$ cm.

Après réflexion sur $(M_1)$, le rayon passera au-dessus de $(M_2)$ et on en conclut que le rayon ne subira que deux réflexions (une sur $(M_1)$ puis une sur $(M_2)$) avant de ressortir de l'espace situé entre les deux miroirs.

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Les deux miroirs précédents sont désormais parallèles et distant de $D$. Une source ponctuelle $S$, située à la distance $d$ du miroir $(M_1)$ émet de la lumière dans toutes les directions.

Question:

En posant le point $S$ comme origine des positions, déterminez celles des images de $S$ formées par le système optique.

On donnera la valeur des $\overline{SS_n}$ et $\overline{SS'_n}$ où $n>0$ un entier, $S_n$ les images de $S$ par $(M_2)$ puis $(M_1)$ puis $(M_2)$ ... (première série) et $S'_n$ celles de $S$ par $(M_1)$ puis $(M_2)$ puis $(M_1)$ ... (seconde série).

Réponse

Les deux miroirs sont à nouveau parallèles comme sur la figure ci-dessous.

Première série :

$S -(M_2)\to S_1 -(M_1)\to S_2 -(M_1)\to S_3 -(M_2)\to S_4$ ...

Tout rayon issu de $S$ semble provenir de $S_1$ après réflexion sur $(M_2)$ avec $S_1$ symétrique de $S$ par rapport à $(M_2)$. Puis, après réflexion sur $(M_1)$, ces rayons semblent provenir de $S_2$ le symétrique de $S_1$ par rapport à $(M_1)$ (Cf figure ci-dessus).

On lit alors

$\overline{SS_1}=2\overline{SI}=2D-2d$,

$\overline{SS_2}=\overline{SS_1}+\overline{S_1S_2} =\overline{SS_1}+2\overline{S_1J}=\overline{SS_1}+2\overline{S_1S}+2\overline{SJ}= -\overline{SS_1}+2\overline{SJ}=-2(D-d)-2d$ soit $\overline{SS_2}=-2D$,

$\overline{SS_3}=\overline{SS_2}+2\overline{S_2I}=\overline{SS_2}+2(\overline{S_2S}+\overline{SI}) =-\overline{SS_2}+2\overline{SI}=2D+2(D-d)=4D-2d$.

De même, en décomposant de la même manière, on obtient $\overline{SS_4}=-\overline{SS_3}+2\overline{SJ}=-4D+2d-2d=-4D$ puis

$\overline{SS_5}=-\overline{SS_4}+2\overline{SJ}=4D+2(D-d)=6D-2d$ on aura ensuite

$\overline{SS_6}=-6D+2d-2d=-6D$, $\overline{SS_7}=6D+2(D-d)=8D-2d$ ...

On en déduit pour la première série :

si $n$ est impair, $\overline{SS_n}=(n+1)D-2d$ et

si $n$ est pair, $\overline{SS_n}=-nD$.

Seconde série :

la figure est semblable, on considère la série $S -(M_1)\to S'_1 -(M_2)\to S'_2 -(M_2)\to S'_3 -(M_1)\to S'_4$ ...

Par la même méthode que pour la série précédente, on relève

$\overline{SS'_1}=2\overline{SJ}=-2d$ puis

$\overline{SS'_2}=\overline{SS'_1}+2\overline{S'_1I}=\overline{SS'_1}+2\overline{S'_1S}+2\overline{SI} =-\overline{SS'_1}+2\overline{SI}=2d+2(D-d)=2D$,

$\overline{SS'_3}=-\overline{SS'_2}+2\overline{SJ}=-2D-2d$

$\overline{SS'_4}=-\overline{SS'_3}+2\overline{SI}=2D+2d+2(D-d)=4D$

$\overline{SS'_5}=-\overline{SS'_4}+2\overline{SJ}=-4D-2d$ ...

D'où pour la seconde série :

si $n$ impair, $\overline{SS'_n}=-(N-1)D-2d$ et

si $n$ pair, $\overline{SS'_n}=nD$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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