Équilibre de masses

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

On considère le dispositif suivant à l'équilibre et dans un plan. Les deux poulies, identiques, sont idéales (masses et moment cinétiques négligeables, rotation sans frottement) et les fils idéaux (masses nulles, inextensibles et parfaitement souples) et ne glissent pas.

Question:

Quelles sont les forces appliquées à la poulie 1 d'axe de rotation $\Delta_1$ ? (ou plutôt au système $\{$ poulie + fil en contact avec la poulie $\}$).

Réponse

On travaille en référentiel galiléen.

L'axe de rotation $\Delta_1$ de la poulie de gauche, représentée ci-contre, est fixe.

On l'oriente comme indiqué.

On peut appliquer le théorème du moment cinétique à la poulie.

Les fils utilisés étant idéaux, ils transmettent entièrement l'intensité des forces à la poulie.

Bilan des forces appliquées à la poulie :

$\vec{R}_1$ la réaction de l'axe $\Delta_1$, on néglige son poids, $\vec{p}_1$ (le poids de $m_1$) et $-\vec{T}_1$ par intermédiaire des fils idéaux.

Calcul des projections des moments de forces :

Le point d'application de $\vec{p}_1$ est $I$ d'où un bras de levier $OI=R$ le rayon de la poulie.\ Comme $\vec{p}_1$ tend à faire tourner la poulie dans le sens d'orientation de $\Delta_1$, on obtient $\mathcal{M}_{\Delta_1}(\vec{p}_1)=+Rp_1=Rm_1g$ la projection du moment de $\vec{p}_1$ sur $\Delta_1$.

La force $-\vec{T}_1$ est appliquée au point $J$, le bras de levier est là aussi $OJ=R$ mais comme elle tend à faire tourner la poulie en sens inverse, $\mathcal{M}_{\Delta_1}(-T_1)=-RT_1$

Quant à la réaction $\vec{R}_1$ de l'axe de la poulie, son point d'application est sur l'axe d'où un moment de force $\mathcal{M}_{\Delta_1}(\vec{R}_1)=0$.

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Question:

Montrez que $T_1=p_1$ où $p_1=||\vec{p_1}||$ est la norme du poids de la masse 1.\ On appliquera le théorème scalaire du moment cinétique à la poulie 1

Réponse

Application du théorème scalaire du moment cinétique :

à l'équilibre, le moment cinétique de la poulie est constant (il est d'ailleurs nul si la masse de la poulie est négligée) et par application du théorème scalaire du moment cinétique,

$$\begin{aligned} \dfrac{dL_{\Delta_1}(\text{Poulie})}{dt}=0=\mathcal{M}_{\Delta_1}(\vec{p}_1)+\mathcal{M}_{\Delta_1}(-\vec{T}_1)+\mathcal{M}_{\Delta_1}(\vec{R}_1)=Rp_1-RT_1 \Rightarrow T_1=p_1=m_1g \end{aligned}$$

La poulie de gauche étant à l'équilibre, la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle (première loi de Newton) d'où $\vec{p}_1-\vec{T}_1+\vec{R}_1=\vec{0} \Rightarrow \vec{R}_1=-\vec{p}_1+\vec{T}_1$

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Question:

Représentez la réaction de l'axe $\Delta_1$ sur la poulie.

Réponse

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Question:

Déterminez $\theta$ et commentez.

Réponse

En reprenant le même raisonnement que pour le 1., on montre que $T'_1=m_1g$ la norme de la force $\vec{T}'_1$.

Le point $K$ étant à l'équilibre, la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle : $\vec{T}_1+\vec{T}'_1+\vec{p}_2=\vec{0}$ avec $\vec{p}_2=m_2.\vec{g}$ et $T_1=T'_1=m_1g$.

Par projection sur l'axe vertical ascendant, $<span><span class="MathJax_Preview">T_1.\sin \theta + T'_1 \sin \theta - p_2=0 \Rightarrow 2m_1g\sin \theta=p_2=m_2g \Rightarrow \sin \theta=\dfrac{m_2}{2m_1}</span><script type="math/tex">T_1.\sin \theta + T'_1 \sin \theta - p_2=0 \Rightarrow 2m_1g\sin \theta=p_2=m_2g \Rightarrow \sin \theta=\dfrac{m_2}{2m_1}$ On remarque que l'équilibre n'est possible que si $m_2<2m_1$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard