Alimentation d'un moteur

Partie: Electronique

niveau: PT

On alimente un moteur à l'aide d'un hacheur série parfait. La période de hachage est $T = \text{1} ms$ et le rapport cyclique est $\alpha = 0,8$. L'inductance $L$ de l'induit du moteur à une valeur suffisante pour que l'ondulation du courant de l'induit soit très faible. La tension d'alimentation du hacheur est $E=\text{220} V$.

La f.e.m. $E'$ du moteur est reliée à sa vitesse de rotation par $E' = \phi \Omega$ avec $\Omega$ la vitesse de rotation du moteur et $\phi = \text{0,25} V/(tr.min^{-1})$. La résistance de l'induit vaut $R = \text{1,5} \Omega$

On sait de plus qu'en fonctionnement en charge, l'intensité moyenne $I$ dans le moteur est de A.

Question:

Etablir une relation entre $E, E', R, I$ et $\alpha$. On pourra pour cela poser $i_{moteur} = I + i$ avec $i \ll I$.

Réponse

Lorsque H est fermé, on obtient $\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} = \dfrac{E-E'-RI}{L} + \dfrac{Ri}{L}$ et on néglige ce dernier terme. On en déduit :

$$\begin{aligned} i(t) = \dfrac{E-(E'+RI)}{L}t + a,~~\forall t \in [0,\alpha T[ \end{aligned}$$

or à $t=0$, $i$ est au minimum (début de la phase croissante) donc $a=i_m$

De même, lorsque H est ouvert, on obtient $\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} \approx \dfrac{-E'-RI}{L}$ d'où :

$$\begin{aligned} i(t) = -\dfrac{E'+RI}{L}(t-\alpha T) + i_M,~~\forall t \in [\alpha T,T[ \end{aligned}$$

or à $t=\alpha T$, $i$ est au maximum (début de la phase décroissante) donc $b=i_M$. On sait de plus que le courant moteur est continu (présence de la bobine) donc :

$$\begin{aligned} i(0^+) = i(T^-) &\Rightarrow i_m = i_M - \dfrac{E'+RI}{L} T(1-\alpha)\\ i(\alpha T^-) = i(\alpha T^+) &\Rightarrow \dfrac{E-(E'+RI)}{L}\alpha T + i_m = i_M \end{aligned}$$

En combinant ces deux équations, on ne peut pas obtenir $i_m$ et $i_M$ (en effet, cela dépend du couple moteur) mais on observe tout de même que :

$$\begin{aligned} \alpha (E - (E'+RI)) = (1-\alpha) (E'+RI) \Rightarrow \boxed{E'+RI = \alpha E} \end{aligned}$$

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Question:

Quelle doit être la valeur minimale de $L$ pour que l'ondulation en courant soit inférieure à $\Delta i_{max} = \text{500} mA$.

Réponse

A partir des équations précédentes, on obtient que $i_M - i_m = \dfrac{E'+RI}{L} T(1-\alpha) \Rightarrow \Delta i = \alpha (1-\alpha) \dfrac{ET}{L}$ L'ondulation est plus petite que le seuil lorsque :

$$\begin{aligned} \alpha (1-\alpha) \dfrac{ET}{L} < \Delta i_{max} \Rightarrow \boxed{L> \alpha (1-\alpha) \dfrac{ET}{ \Delta i_{max}}} \end{aligned}$$

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Question:

A quelle vitesse tourne alors le moteur ?

Réponse

En charge, et en moyenne, on a $E'+RI = \alpha E \Rightarrow E' = \alpha E - RI \Rightarrow \boxed{\Omega = \dfrac{ \alpha E-RI }{ \phi } \approx \text{640} tr/min}$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : M. Desrousseaux (PSI* a Faidherbe en 2009)