Coulissement sur une tige en rotation

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Une tige $\mathcal{T}$ horizontale passant par $O$ tourne autour de l'axe vertical $(Oz)$ à la vitesse angulaire $\omega$ constante.

Un point matériel $M$ de masse $m$ peut coulisser sans frottement sur la tige. Il est repéré par ses coordonnées polaires $(r,\theta)$ dans le plan $(Oxy)$.

À l'instant $t=0$, le point $M$ est abandonnée sans vitesse initiale par rapport à la tige à la distance $r_{0}$ de l'origine $O$ ; on a donc

$$\begin{aligned} r(t=0)=r_{0} \text{ et } \dot{r}(t=0)=0 \end{aligned}$$

On suppose de plus qu'à ce même instant, la tige est confondue avec l'axe $(Ox)$ : $\theta(t=0)=0$.

Question:

Obtenez l'équation différentielle du second ordre vérifiée par $r(t)$.

Réponse

On travaille ici dans le référentiel local $\mathcal{R}(O,Ox,Oy,Oy)$\ supposé galiléen.

Le système { point matériel $M$ } est soumis à

son poids $\vec{p}=m\vec{g}=-mg.\vec{u}_{z}$

la réaction de l'axe $\vec{R}=\vec{R}_{N}$ normale à la tige\ puisqu'on néglige tout frottement. Cela signifie qu'elle\ ne comporte pas de composante radiale (voir figure) et\ qu'elle s'écrit ainsi $\vec{R}=R_{\theta}.\vec{u}_{\theta}+R_{z}.\vec{u}_{z}$.

Par ailleurs, on retrouve rapidement l'expression de l'accélération du point $M$ :

$$\begin{aligned} \vec{OM}=r.\vec{u}_{r} \Rightarrow \vec{v}=\dot{r}.\vec{u}_{r}+r\dot{\theta}.\vec{u}_{\theta} \Rightarrow \vec{a}=\ddot{r}.\vec{u}_{r}+\dot{r}(\dot{\theta}.\vec{u}_{\theta})+\dot{r}\dot{\theta}.\vec{u}_{\theta}+r\ddot{\theta}.\vec{u}_{\theta}+r.\dot{\theta}(-\dot{\theta}.\vec{u}_{r}) \end{aligned}$$

et avec $\dot{\theta}=\omega$ la vitesse angulaire constante ici, on aboutit à $\vec{a}=(\ddot{r}-\omega^{2}r).\vec{u}_{r}+2\omega \dot{r}.\vec{u}_{\theta}$

On peut ainsi écrire le principe fondamental de la dynamique sous la forme :

$$\begin{aligned} m\vec{a}=\vec{p}+\vec{R} \Rightarrow m[(\ddot{r}-\omega^{2}r).\vec{u}_{r}+2\omega \dot{r}.\vec{u}_{\theta}]=-mg.\vec{u}_{z}+R_{\theta}.\vec{u}_{\theta}+R_{z}.\vec{u}_{z} \end{aligned}$$

Par projection selon $\vec{u}_{r}$ de l'équation vectorielle précédente on obtient l'équation différentielle en $r(t)$ :

$$\begin{aligned} m(\ddot{r}-\omega^{2}r)=0 \Rightarrow \ddot{r}=\omega^{2}r \end{aligned}$$

Remarque : la projection du PFD selon $\vec{e}_{z}$ et $\vec{e}_{\theta}$ permet d'obtenir $R_{z}=mg$ et $R_{\theta}=2\omega\dot{r}$.

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Question:

Déterminez la loi horaire $r(t)$ en fonction de $r_{0}$ et $\omega$ puis tracer l'allure de $r(t)$ pour $t\geq 0$.

Réponse

La solution de l'équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, de signes différents en $r(t)$ est de la forme $r(t)=A.\exp(\omega t)+B.\exp(-\omega t)$ où $A$ et $B$ sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales :

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$r(0)=r_{0}$ $\dot{r}(0)=0$

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$\Rightarrow$

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$A+B=r_{0}$ (1) $\omega A-\omega B=0$ (2)

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et (1)+(2)$/\omega$ $\Rightarrow 2A=r_{0}$ soit $A=\dfrac{r_{0}}{2}=B$

On en déduit finalement $r(t)=\dfrac{r_{0}}{2}[\exp(\omega t)+\exp(-\omega t)]=r_{0}\cosh (\omega t)$ (fonction cosinus hyperbolique) : $r(t)$ diverge.

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Question:

Reprendre la question précédente pour la trajectoire $r(\theta)$.

Réponse

Comme $\dot \theta=\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$, on en déduit $\theta=\omega t+0$ en considérant $\theta(0)=0$ et ainsi $r(t)=r_{0} \cosh \theta$.

La trajectoire est donc une spirale exponentielle.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard