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Partie: Electronique

niveau: PTSI

Dans le circuit suivant, le GBF délivre une tension $e(t)$ sinusoïdale de pulsation $\omega$, $R$ de résistance $R$ est un résistor et $D$ un dipôle linéaire inconnu d'impédance $\underline{Z}$.

On note $u(t)=U_{m}\cos(\omega t)$ et $v(t)=V_{m}\cos (\omega t +\varphi)$ les tensions aux bornes respectives de $R$ et $D$.

On visualise à l'oscilloscope $v(t)$ et $u(t)$ et on obtient le graphe suivant :

La sensibilité verticale des voies est de V/div et la sensibilité horizontale de ms/div.\ On utilise ces résultats pour déterminer les caractéristiques de $D$ sachant que $R=\text{100} \Omega$.

Question:

Déterminer $V_{m}$ et $U_{m}$ ainsi que la pulsation $\omega$ des signaux utilisés.

Réponse

Sur la tracé ci-dessus on lit directement $V_{m}=\text{3,5} V$ ; $U_{m}=\text{5,0} V$ et $T \simeq (7,8-1,6)\times 10.10^{-3} =\text{6,3e-2} s$ soit $\omega=\dfrac{2\pi}{T}\simeq \text{100} rad.s^{-1}$.

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Question:

La tension $v(t)$ est-elle en avance ou en retard sur $u(t)$ ? En déduire le signe de $\varphi$. Déterminer graphiquement la valeur de $\varphi$.

Réponse

De même, sur le tracé on remarque que la tension $v(t)=V_{m}\cos(\omega t+\varphi)$ est en avance, elle passe par un maximum avant $u(t)=U_{m}\cos(\omega t)$ donc $\varphi>0$.

Le déphasage $\varphi$ se traduit sur la courbe par un décalage temporel $\Delta t$. À un décalage $T$ correspondrait un déphasage $2\pi$, à un $\dfrac{T}{2}$ correspondrait $\pi$. Par application d'une règle de trois, on en déduit la relation \begin{aligned} \varphi=2\pi \dfrac{\Delta t}{T} \simeq \dfrac{2\times 3,14\times(1,6-0,8)}{6,3} \simeq \text{0,80} rad \end{aligned}

soit environ 46°

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On note $\underline{Z}=X+jY$ l'impédance du dipôle $D$.

Question:

Déterminer $X$ et $Y$ à partir des résultats précédents.

Réponse

On peut appliquer la loi d'Ohm généralisée à chaque dipôle :

$$\begin{aligned} \underline{U}_{m}=U_{m}=R.\underline{I}_{m} \text{ et } \underline{V}_{m}=\underline{Z}.\underline{I}_{m} \Rightarrow \underline{Z}=R\dfrac{\underline{V}_{m}}{U_{m}} \end{aligned}$$

On en déduit alors

$$\begin{aligned} |\underline{Z}|=\dfrac{R.|\underline{V_{m}|}}{U_{m}} \Rightarrow \sqrt{X^{2}+Y^{2}}=\dfrac{RV_{m}}{U_{m}} \qquad \Rightarrow X^{2}+Y^{2}=\bigg(\dfrac{RV_{m}}{U_{m}}\bigg)^{2} \simeq 4900 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \arg(\underline{Z})=\arg\bigg(R\dfrac{\underline{V}_{m}}{U_{m}}\bigg) \Rightarrow \arctan \dfrac{Y}{X}=\arg(V_{m})=\varphi \qquad \Rightarrow \dfrac{Y}{X}=\tan \varphi \simeq 1 \end{aligned}$$

On en déduit $Y\simeq X \simeq 50$ $\Omega$

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Question:

Par quel dipôle (condensateur, bobine, résistor ... ou association) peut-on modéliser $D$ ? Donner ses caractéristiques.

Réponse

La partie imaginaire de $\underline{Z}$ est positive ce qui correspond à une impédance inductive, le dipôle $D$ peut donc être modélisé par l'association série d'un résistor $R_{eq}$ et d'une bobine idéale d'inductance $L_{eq}$.

On aura alors $R_{eq}=X=\text{50} \Omega$ et $Y=L\omega=2\pi f L_{eq} \Rightarrow L_{eq}=\dfrac{Y}{\omega}=\dfrac{50}{100} \simeq \text{0,5} H$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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