Oscilleteur amorti

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Dans cet exercice, on considère le cas d'une masse accrochée à un ressort horizontal selon l'axe $\vec e_x$. Les frottements fluides ne seront pas négligés dans cette étude.\ Le ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ est fixé au point $x=0$ et le point matériel $M$ de masse $m$ à pour abscisse $x(t)$.

Question:

Système, référentiel, bilan des forces ? Faîtes ensuite un schéma.

Réponse

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Question:

On suppose la force de frottement proportionnelle à la vitesse du point matériel $M$ : $\vec F_f = - \alpha \dot{x} \vec e_x$ où $\alpha$ est une constante. Quelle est la dimension de $\alpha$ ?

Réponse

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Question:

En appliquant le principe fondamental de la dynamique projetée sur l'axe $O \vec e_x$, trouvez l'équation de la trajectoire sous la forme canonique ($1$ en facteur de $\ddot{x}$).

Réponse

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Question:

Mettre cette équation sous la forme :

$$\begin{aligned} \ddot{x} + \dfrac{2}{\tau} \dot{x} + \omega_0^2 x = \omega_0^2 l_0 \end{aligned}$$

S'agit-il d'une équation harmonique ?

Réponse

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Question:

Quelle est la position d'équilibre ?

Réponse

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Question:

Vérifiez que la fonction suivante est bien la solution homogène du problème :

$$\begin{aligned} s(t) = A e^{-\dfrac{t}{\tau}} \cos{\omega t} \end{aligned}$$

où $A$ est une constante et :

$$\begin{aligned} \omega = \omega_0 \sqrt{1 - \dfrac{1}{(\omega_0 \tau)^2}} \end{aligned}$$

Réponse

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Question:

Tracez l'allure de la solution.

Réponse

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : Vincent Grenard

source(s) : n.a.