Constante gravitationnelle

Partie: ****

niveau: PTSI

L'interaction gravitationnelle se manifeste par l'apparition d'une force $F$ entre deux masses $m_1$ et $m_2$ séparées par une distance $d$. L'expression scalaire de cette force est :

$$\begin{aligned} F=\mathcal{G}\dfrac{m_1m_2}{d^2} \end{aligned}$$

$\mathcal{G}$ étant la constante de gravitation universelle.

Question:

Quelle est la dimension de $\mathcal{G}$ ?

Réponse

On obtient après calcul $[\mathcal{G}]=L^3M^{-1}T^{-2}$

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Question:

Vérifier l'homogénéité de la loi suivante :

$$\begin{aligned} \dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{\mathcal{GM_S}}, \end{aligned}$$

où $T$ est la période de rotation d'une planète autour du soleil, $a$ le demi-grand axe de l'ellipse (à peu près le rayon dans le cas général) et $M_S$ est la masse du soleil.

Réponse

On a d'une part $[T^2/a^3] = T^2L^{-3}$ et d'autre part $[4\pi^2/(\mathcal{GM}_s)] = L^{-3}.M.T^2.M^{-1} = L^{-3}T^2$ et la formule est bien homogène.

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Question:

A l'aide d'une analyse dimensionnelle, retrouver la relation liant l'accélération de pesanteur $g_0$ à la masse de la terre $M_t$, la constante de gravitation universelle $\mathcal{G}$ ainsi qu'au rayon de la terre $R_t$.

Réponse

On suppose que $g_0 = k M_t^\alpha \mathcal{G}^\beta R_t^\gamma$ et on procède par analyse dimensionnelle :

$$\begin{aligned} &L.T^{-2} = M^{\alpha} L^{3\beta} M^{-\beta} T^{-2\beta} L^\gamma\\ \Rightarrow & L.T^{-2} = M^{\alpha-\beta}.L^{3\beta+\gamma}.T^{-2\beta} \end{aligned}$$

On en déduit $\beta=1$, $\alpha=\beta=1$ puis $\gamma = -2$ soit au final :

$$\begin{aligned} g_0 = k \dfrac{M_t \mathcal{G}}{R_T^2} \end{aligned}$$

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Question:

Cette expression est-elle cohérente avec l'expression générale de la force de gravité exercée entre deux masses ?

Réponse

On a $||\vec P|| = mg_0 = k \mathcal{G} \dfrac{mM_t}{R_t^2}$ or la distance terre/objet vaut $d=R_t$. L'expression est donc cohérente si l'on pose $k=1$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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