Courant de Foucault dans un cylindre

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

On place un cylindre conducteur d'axe $Oz$, de section $S_0=\pi R^2$, de longueur $L \gg R$ et de conductivité $\gamma$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B_0\cos(\omega t)\vec{u}_z$.

On suppose dans un premier temps que le champ magnétique induit est négligeable devant le champ magnétique extérieur appliqué. On se place dans le cadre de l'ARQS magnétique et on néglige les effets de bords.

Question:

Montrer que le champ électrique peut se mettre sous la forme $\vec{E}=E(r,t)\vec{u}_{\theta}$. Montrer que $\vec{E}(M)=\dfrac{r\omega B_0\sin(\omega t)}{2}\vec{u}_{\theta}$.

Réponse

Tout plan $M,\vec e_r,\vec e_z$ es un plan de symétrie pour la distribution du champ magnétique donc le champ $E$ induit y est perpendiculaire donc suivant $\vec e_\theta$. De plus, ce champ ne dépendra pas de $\theta$ invariance du problème par rotation ni de $z$ (effet de bords négligés).

On peut calculer ensuite $E(r,t)$ on considérant une intégrale sur la section du cylindre :

$$\begin{aligned} \oint_C E(r,t) r d\theta = \iint_S -\dfrac{\partial B}{\partial t} dS \Rightarrow E = \dfrac{r \omega}{2} B_0 \sin(\omega t) \end{aligned}$$

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Question:

Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet dans le cylindre.

Réponse

La loi d'ohm locale donne dans le cas de l'ARQS $\vec j = \gamma \vec E$. On en déduit :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\gamma} j^2 = \gamma E^2 \Rightarrow P_J = \iiint_V \gamma E^2 dV = \dfrac{\gamma}{4} (\omega B_0)^2\iiint_V r^3 dz dr d\theta = \dfrac{\gamma}{4} (\omega B_0)^2 \dfrac{1}{2} \pi L R^4 \sin^2(\omega t) \end{aligned}$$

On en déduit la puissance moyenne $<P_J> = \dfrac{\gamma}{8} (\omega B_0)^2 \pi L R^4 = \alpha R^4$

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Question:

Que devient la puissance moyenne dissipée par effet si au lieu d'un seule conducteur cylindrique on utilise $N$ conducteurs cylindriques identiques de même longueur $L$, de section $S_0'=\dfrac{S_0}{N}$ sachant que le volume total occupé par les $N$ cylindres est le même que précédemment ? Commenter.

Réponse

Le rayon associé à ces nouveaux conducteurs est tel que $R^2 = N R'^2$ (même surface totale) soit $R' = \dfrac{R}{\sqrt{N}}$. On en déduit :

$$\begin{aligned} <P_J'> = N \alpha R'^4 = N \alpha \left( \dfrac{R}{\sqrt{N}} \right) ^4 = \dfrac{<P_J>}{N} \end{aligned}$$

Les pertes par effet joule associées sont donc plus faibles pour cette nouvelle configuration.

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Question:

Calculer le champ magnétique induit. On admet qu'il est nul pour $r=R$.

Réponse

On connait l'expression du courant ($\vec j = \gamma \vec E$). On en déduit le champ magnétique induit dans le cadre de l'ARQS à l'aide du théorème d'Ampère. En effet, les symétries du problèmes montrent que $\vec B(r,\theta, z) = B(r) \vec e_z$ (le plan $(M,\vec e_r, \vec e_\theta )$ est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Pour le contour appuyé sur l'arête de longueur $l$ du cylindre (donc en $r=R$) et passant à l'intérieur de ce dernier (en $r=r$) :

$$\begin{aligned} &\oint_C \vec B \cdot \vec dl = \mu_0 \iint_S \vec j \vec dS \Rightarrow B(r) l+0 - B(R)l + 0 = \iint_S \mu_0 \gamma \rho \dfrac{\omega}{2}B_0 \sin(\omega t) dz d\rho \\ \Rightarrow ~~~& B(r) = \gamma \mu_0 \left( R^2-r^2 \right) \dfrac{\omega}{4} B_0 \sin(\omega t) \end{aligned}$$

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Question:

Donner une condition pour que le champ magnétique induit soit négligeable devant $B_0$.

Réponse

Ce champ magnétique sera négligeable lorsque $\gamma \mu_0 R^2 \omega \ll 1$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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