Ressaut hydraulique

Partie: Mecanique des fluides

niveau: PT

On observe un bourrelet d'eau au fond d'un évier dans lequel coule l'eau d'un robinet. Ce bourrelet est appelé ressaut. Il sépare une zone centrale où l'épaisseur du fluide est faible d'une zone périphérique où la hauteur d'eau est plus importante. Au niveau de la transition, on constate que l'écoulement est turbulent (non stationnaire et de fortes variations aléatoires et locales du champ de vitesse)

On modélise le ressaut dans un écoulement unidimensionnel et permanent dans un canalisation rectiligne, parallèle à l'axe $Ox$ et de largeur $L$ suivant $Oy$. En amont (respectivement en aval) du ressaut, la vitesse du fluide vaut uniformément $v_1\vec{u}_x$ (respectivement $v_2\vec{u_x}$) et la profondeur est $h_1$ (respectivement $h_2$). Le liquide est considéré comme incompressible de masse volumique $\mu$. La pression de l'atmosphère au-dessus du liquide est $p_0$. L'axe $Oz$ est vertical ascendant. Pour étudier ce phénomène, on prend comme surface de contrôle le parallélépipède rectangle de section $S=Lh_2$ limité par les sections d'abscisses $x_1$ et $x_2$ situées de part et d'autre du ressaut.

Question:

Pourquoi ne peut-on pas déduire $v_2$ et $h_2$ du théorème de ?

Réponse

L'écoulement n'est pas parfait entre les abscisses $x_1$ et $x_2$. On ne peut donc plus appliquer le théorème de Bernoulli.

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Question:

Exprimer la pression au sein du liquide en fonction de $z$ sur la face d'entrée et sur la face de sortie. On choisira l'origine des cotes $z$ au fond du canal.

Réponse

Sur la face d'entrée, l'écoulement est parfait et on peut appliquer Bernoulli :

$$\begin{aligned} P_0 + \rho g h_1 + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 = P_e(z) + \rho g z + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 \Rightarrow P_e(z) = P_0 + \rho g (h_1 - z) \end{aligned}$$

On trouve de même sur la face de sortie $P_s(z) = P_0 + \rho g (h_2 - z)$.

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Question:

Etablir un bilan de quantité de mouvement pour relier $v_1$, $h_1$, $v_2$ et $h_2$.

Réponse

On a $p(t) = p_{int} + \rho Lh_1 v_1 dx_1$ puis $p(t+dt) = p_{int} + \rho Lh_2 v_2 dx_2$. L'application du PFD à ce système fermé donne :

$$\begin{aligned} \rho L (h_2 v_2^2 - h_1v_1^2 ) = F_x \end{aligned}$$

avec $F_x$ la résultante des forces extérieures appliqué sur la surface de contrôle a savoir les forces de pression :

$$\begin{aligned} F_x &= L\int\limits_{z=0}^{h_1} P_e(z) dz + L\int\limits_{z=h_1}^{h_2} P_0 dz - L\int\limits_{z=0}^{h_2} P_s(z) dz = \dfrac{\rho g L}{2}([(h_2-z)^2]^{h_2}_{0} - [(h_1-z)^2]^{h_1}_{0}) \\ \Rightarrow F_x &= \dfrac{\rho g L}{2} (h_1^2-h_2^2) \end{aligned}$$

On en déduit :

$$\begin{aligned} \rho L (h_2 v_2^2 - h_1v_1^2 ) = \dfrac{\rho g L}{2} (h_1^2-h_2^2) \Rightarrow (h_2 v_2^2 - h_1v_1^2) = \dfrac{ g }{2} (h_1^2-h_2^2) \end{aligned}$$

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Question:

Calculer $v_1$ et $v_2$ en fonction de $h_1$, $h_2$ et $g$.

Réponse

La conservation du débit massique donne aussi $v_1 h_1 = v_2 h_2$. On peut donc combiner ces deux relations pour isoler $v_1$ et $v_2$ :

$$\begin{aligned} (h_2 \left( \dfrac{h_1}{h_2} \right) ^2 - h_1) v_1^2 = \dfrac{g}{2}\left( h_2^2-h_1^2 \right) \Rightarrow v_1^2 = \dfrac{g(h_2^2-h_1^2)}{2h_1(\dfrac{h_1}{h_2}-1)} \Rightarrow v_1 = \left( \dfrac{gh_2(h_2+h_1)}{2h_1} \right) ^{1/2} \end{aligned}$$

On trouve de même $v_2 = \left( \dfrac{gh_1(h_2+h_1)}{2h_2} \right) ^{1/2}$

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Question:

Exprimer, en fonction de $h_1$ et de $h_2$, la puissance dissipée dans le ressaut.

Réponse

Bilan d'énergie mécanique $\dfrac{\mathrm{d} E_m}{\mathrm{d} t} = P_{int} + P_{ext}$ On en déduit après calculs $P_{int} = -D_m g \dfrac{(h_2-h_1)^3}{4h_2h_1}<0$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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