Échangeur thermique a contre courant

Partie: Thermodynamique

niveau: PT

Soit une machine thermique ouverte dans laquelle circule lentement et horizontalement un fluide en régime stationnaire avec le débit massique $D$. Il y reçoit les puissances thermique $P_{th}$ et mécanique $P_m$.

Question:

A l'aide du premier principe, établir un lien entre ces deux puissances, $D$ et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.

Réponse

Il convient de réaliser un schéma puis d'appliquer le premier principe à un syst. fermé et d'ensuite effectuer un bilan :

$$\begin{aligned} & dH = (p_m +p_{th})dt = (H_{syst}(t+dt) - H_{syst}(t)) + (dm_s h_s - dm_e h_e)\\ \Rightarrow & D (h_s - h_e) = P_{th} + P_{m} \end{aligned}$$

car en régime régime stationnaire, toutes les grandeurs locales sont constantes et que par conservation de la masse, on a $dm_e = dm_s$

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Soit un échangeur thermique isobare et adiabatique. Dans le tuyau circule un gaz, supposé parfait, de coefficient $\gamma = 7/5$ et de masse molaire $M=\text{29} g.mol^{-1}$.

Il entre à $T_1=\text{520} K$ et ressort à $T_2=\text{300} K$. Le fluide réfrigérant est de l'eau, de capacité thermique $c=\text{4,18} kJ.kg^{-1}.K^{-1}$, entrant à $\theta_1$ et sortant à $\theta_2$.

Le régime est stationnaire de débit $D_g=\text{0,10} kg.s^{-1}$ pour le gaz et $D_e=\text{4,0} kg.s^{-1}$ pour l'eau.

Question:

Exprimez $\theta_2$ en fonction des autres grandeurs puis réalisez l'A.N. sachant que $\theta_1=12$°C

Réponse

On peut appliquer le premier principe industriel aux deux fluides en remarquant qu'il n'y a pas de puissance mécanique et que $P_{th,e\to g} + P_{th,g \to e}=0$ :

$$\begin{aligned} & D_g (h_{g,s}-h_{g,e}) = P_{th,e \to g} \\ & D_e (h_{e,s}-h_{e,e}) = P_{th,g \to e} \\ \end{aligned}$$

En ajoutant ces deux relations, on trouve : $D_e (h_{e,s}-h_{e,e}) = D_g (h_{g,e}-h_{g,s})$. On sait de plus que pour un GP, on a $h_{GP} = \dfrac{\gamma R}{M(\gamma-1)} T$ et pour l'eau (phase condensée) : $\Delta h_{eau} = c (\theta_2 - \theta_1 )$. On obtient au final :

$$\begin{aligned} D_e c (\theta_2 - \theta_1 ) = \dfrac{\gamma D_g R}{M(\gamma-1)} (T_1-T_2) \Rightarrow \theta_2 = \theta_1 +\dfrac{\gamma D_gR}{D_ecM(\gamma-1)} (T_1-T_2) \end{aligned}$$

A.N. : $\theta_2 = 25,3$°C

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Question:

Exprimez le taux de création d'entropie $\dfrac{\delta S_c}{\mathrm{d} t}$ en fonction des entropies massiques du gaz et de l'eau à l'entrée et à la sortie du système.

Réponse

On effectue un bilan du second principe sur le système complet :

$$\begin{aligned} S(t) &= s_{syst} +dm_g s_{g,1} + dm_e s_{e,1} \\ S(t+dt) &= s_{syst} +dm_g s_{g,2} + dm_e s_{e,2} \\ \end{aligned}$$

Et par application du second principe $dS = \delta S_C + \delta S_e$ (avec $\delta s_e=0$ car le système complet est calorifugé) :

$$\begin{aligned} \dfrac{\delta S_c}{\mathrm{d}t} = D_e (s_{e,2}-s_{e,1}) + D_g (s_{g,2}-s_{g,1}) \end{aligned}$$

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Question:

Calculez la différence d'entropie massique $s_{2,eau}-s_{1,eau}$ pour l'eau ; calculer de même $s_{2,gaz}-s_{1,gaz}$ pour le gaz. Quel est le signe de $\dfrac{\delta S_c}{\mathrm{d} t}$, le discuter.

Réponse

L'eau est une phase condensée donc $s_{e,2}-s_{e,1} = c\ln\left( \dfrac{\theta_2}{\theta_1} \right) = 19~J.K^{-1}.kg^{-1}$\ Pour le GP, on a le même type de relation pour une transformation isobare : $s_{g,2}-s_{g,1} = \dfrac{\gamma R}{\gamma-1}\ln\left( \dfrac{T_2}{T_1} \right) = -0,55~J.K^{-1}.kg^{-1}$.\ On en déduit $\dfrac{\delta S_c}{\mathrm{d}t} = 22~J.K^{-1}.s^{-1}$ dont le signe est positif (conforme au second principe)

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Rappel pour une phase condensée :

$$\begin{aligned} \Delta s = c \ln\left( \dfrac{T_f}{T_0} \right) \end{aligned}$$

Rappel pour une transformation monobare d'un GP :

$$\begin{aligned} \Delta s = \dfrac{\gamma R}{\gamma -1} \ln\left( \dfrac{T_f}{T_0} \right) \end{aligned}$$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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source(s) : J'intègre Physique tout en un PSI/PSI*