Induction et cadre en rotation

Partie: Electromagnetisme

niveau: PTSI

On considère un circuit filiforme carré de coté $b$ placé, pour le moment, dans un plan contenant le fil rectiligne supposé infini et parcouru par un courant d'intensité $i$. La distance entre le fil est le cadre est $a$ constante (figure ci-dessous à gauche).

On rappelle l'expression du champ magnétique créé par un tel fil. En coordonnées cylindriques, le fil définissant l'axe $(Oz)$,

$$\begin{aligned} \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}i}{2\pi r}.\vec{e}_{\theta} \end{aligned}$$

Question:

On oriente arbitrairement le cadre carré dans le sens horaire. Calculez le flux $\Phi$ du champ magnétique $\vec{B}$ créé par le fil à travers le cadre. On exprimera $\Phi$ en fonction de $\mu_{0}$, $i$, $a$ et $b$.

Réponse

Le cadre étant orienté dans le sens horaire, sa normale $\vec n$ est dans le même sens que le champ $\vec B$ créé par le fil ($\vec B \cdot \vec n = B$). On a par définition :

$$\begin{aligned} \Phi = \int\limits_{a-b/2}^{a+b/2}\left( \int\limits_0^b \dfrac{\mu_0i}{2\pi r}dz \right) dr = \dfrac{\mu_0ib}{2\pi}\int\limits_{a-b/2}^{a+b/2}\dfrac{1}{r}dr = \dfrac{\mu_0ib}{2\pi}\ln \left( \dfrac{a+b/2}{a-b/2} \right) \end{aligned}$$

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Question:

Dans toute la suite, on suppose que $b \ll a$. Comment se simplifie l'expression précédente ? [[q:phi]]{#q:phi label="q:phi"}

Réponse

On peut chercher un équivalent à l'expression précédente avec $b/a \ll 1$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mu_0ib}{2\pi}\ln \left( \dfrac{a+b/2}{a-b/2} \right) = \dfrac{\mu_0ib}{2\pi}\ln \left( 1+b/(2a) \right) -\ln \left( 1-b/(2a) \right) \approx \dfrac{\mu_0ib^2}{2\pi a} \end{aligned}$$

Tout se passe comme si le cadre était placé dans un champ uniforme $\vec B = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi a} \vec e_y$.

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Question:

Sachant que $b \ll a$, que peut on en conclure pour le champ magnétique au niveau du circuit filiforme ? En déduire une nouvelle méthode permetant d'exprimer $\Phi$ puis comparer au résultat obtenu à la question [q:phi]{reference-type="ref" reference="q:phi"}.

Réponse

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Question:

Le cadre peut désormais tourner autour de l'axe représenté en pointillé sur la figure ci-dessus au centre et à droite. On repère sa position angulaire par l'angle $\varphi$ de $\vec{e}_{z}$ au plan du cadre. Déterminez simplement la nouvelle expression de $\Phi$ en fonction de $\mu_{0}$, $\varphi$, $i$, $a$ et $b$.

Réponse

Le champ magnétique étant quasiment uniforme au niveau du cadre, on peut utiliser le résultat suivant :

$$\begin{aligned} \Phi(t) = \vec B \cdot S \vec n = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi a}b^2 \cos(\varphi(t)) \end{aligned}$$

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Question:

En déduire l'expression $e(t)$ de la force électromotrice induite dans le cadre en fonction de $\mu_{0}$, $\varphi$, $a$, $b$, $i$, et $\dfrac{d\varphi(t)}{dt}$.

Réponse

On en déduit la f.e.m. d'après la loi de Faraday :

$$\begin{aligned} e = - \dfrac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}= \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi a}b^2 \dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t}\sin(\varphi) \end{aligned}$$

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Question:

Quelle sera l'expression $i'(t)$ de l'intensité du courant induit dans le cadre si on néglige son inductance propre et qu'on le modélise par un résistor de résistance $R$.

Réponse

On obtiendra une maille composée d'un générateur de f.e.m. $e$ et d'une résistance $R$. Le courant induit vaudra donc : $i' = e/R = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi a R} b^2 \dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \sin(\varphi)$. On a ensuite $\varphi(t) = \Omega t$ soit :

$$\begin{aligned} i' = e/R = \dfrac{\mu_0 i}{2 \pi a R}b^2 \Omega \sin(\varphi) \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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