Corde de Meldes avec frottement (Résolution de problème)

Partie: Mecanique

niveau: PT

On se propose d'étudier la corde de Melde (supposée de longueur infinie) et sujette aux frottements fluides.

Question:

Montrez qu'une onde se propageant sur un tel dispositif sera sujette aux phénomènes d'absorption et de dispersion. remarque :\ On supposera la corde horizontale et le poids pourra être négligé.

Réponse

On suppose la corde au repos suivant $\vec e_x$ et une perturbation orthogonale suivant $\vec e_y$. On cherche premièrement à obtenir l'équation aux dérivées partielles dont $y(x,t)$ est solution. On isole ainsi une petite tranche de corde de longueur $\mathrm{d}x$. On applique le PFD :

$$\begin{aligned} \mu \mathrm{d}x \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= - \alpha \mathrm{d}x \dfrac{\partial y}{\partial t} + T(x+\mathrm{d}x) \sin(\theta(x+\mathrm{d}x)) - T(x) \sin(\theta(x)) \\ 0 &= T(x+\mathrm{d}x) \cos(\theta(x+\mathrm{d}x)) - T(x) \cos(\theta(x)) \\ \end{aligned}$$

Avec l'approximation des petits angles, on obtient $T(x+\mathrm{d}x) \approx T(x)$ car $(\cos(\theta) \approx 1)$ et on en déduit que la tension de la corde $T$ est constante. La première équation donne alors :

$$\begin{aligned} &\mu \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} - T \dfrac{\partial \theta}{\partial x} + \alpha \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0 \text{~~ avec ~~} \theta \approx \tan(\theta) \approx \dfrac{\partial y}{\partial x} \\ \Rightarrow ~~& ~~ \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \dfrac{T}{\mu} \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \dfrac{\alpha}{\mu} \dfrac{\partial y}{\partial t} = 0 \end{aligned}$$

On obtient finalement une équation d'onde et on peut établir sa relation de dispersion :

$$\begin{aligned} -\omega^2 + c^2 k^2 + j\dfrac{\alpha}{\mu} \omega = 0 \end{aligned}$$

Il apparait ainsi clairement que $v_\phi$ dépend de la pulsation (dispersion) et que $k$ sera complexe (absorption).

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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