Montage déphaseur

Partie: Electronique

niveau: PT

On considère le circuit suivant dans lequel l'ALI est dans un premier temps supposé idéal.

Question:

En régime sinusoïdal forcé, exprimer la fonction de transfert $\underline{H}$ du circuit.

Réponse

ALI idéal $\Rightarrow i_+ = i_- = 0$

Rétroaction sur entrée - $\Rightarrow$ régime linéaire $\Rightarrow V_+ = V_-$

Loi des nœuds en terme de potentiel à l'entrée - : $\dfrac{V_e - V_-}{R_1} + \dfrac{V_S - V_-}{R_2} = 0$

Loi des nœuds en terme de potentiel à l'entrée + : $\dfrac{V_e - V_+}{r}+ \dfrac{0- V_+}{1/jC\omega} = 0$

En injectant une équation dans l'autre, on élimine $V-$ et on obtient la relation recherchée :

$$\begin{aligned} H = \dfrac{R_1 - jR_2r C \omega}{R_1(1+jrC\omega)} \end{aligned}$$

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Question:

Quelle doit être la relation entre $R_1$ et $R_2$ pour que le gain soit égal à l'unité?

Réponse

Le gain de la fonction de transfert est donné par son module :

$$\begin{aligned} |H|=G=1 \Rightarrow 1 + ((R_2/R_1)rC\omega)^2 = 1+(rC\omega)^2 \Rightarrow R_1=R_2 \end{aligned}$$

On peut ainsi ré-écrire la fonction de transfert :

$$\begin{aligned} H = \dfrac{1 - jrC\omega}{1+jrC\omega} \end{aligned}$$

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Question:

Donner, dans ce cas, l'expression du déphasage $\phi$ de la tension de sortie $V_S(t)$ par rapport à la tension d'entrée $V_e(t)$. Quel est l'intérêt de ce montage ?

Réponse

Dans ce cas, le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée vaudra

$$\begin{aligned} \Delta \phi_{S/e} = \arg(H) = \arg(1-jrC\omega) - \arg(1+jrC\omega) = -2 \arctan(rC\omega) \end{aligned}$$

Ainsi, le circuit étudié déphase la sortie par rapport à l'entrée sans toucher à son gain, d'où son nom !

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On considère maintenant le modèle du premier ordre pour l'ALI

$$\begin{aligned} \epsilon = v_+ - V_- \text{~~et~~}v_s = \dfrac{\mu_0}{1+j \omega \tau} \epsilon \end{aligned}$$

avec $\mu_0 \approx 10^5$ et $\tau \approx \text{0,1} s$

Question:

Obtenir la nouvelle fonction de transfert $\underline{H}' = \dfrac{\underline{u}_s}{\underline{u}_s}$ en faisant apparaître $\underline{H}$.

Réponse

Après calculs, on obtient :

$$\begin{aligned} \underline{H'} = \dfrac{ \dfrac{ \underline{H}}{ 1 + 2/\mu_0 } }{ 1+ j \omega \dfrac{\tau}{{1 + \mu_0/2} }} \approx \dfrac{\underline{H}}{1+ j 2 \omega \tau / \mu_0} \end{aligned}$$

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Question:

A partir de quelle fréquence le comportement du filtre est-il affecté par la prise en compte du modèle premier ordre de l'ALI ?

Réponse

L'effet commence à se faire ressentir quand $\omega_c 2\tau/\mu_0 \approx 1\Rightarrow \omega_c \approx \mu_0/(2\tau) \approx \text{5,0e5} rad.s^{-1}$. Cela correspond à une fréquence de l'ordre de $f_c \approx \text{80} kHz$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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