Plaque à induction

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On cherche dans cet exercice à déterminer la puissance thermique reçue par le fond d'une casserole posée sur une plaque à induction. On assimile le fond de la casserole à un cylindre de rayon $a$, d'épaisseur $h$ et d'axe $(Oz)$.

La plaque à induction crée en son sein un champ magnétique $\vec B = B_{0} \cos\omega t.\vec{e}_{z}$.

Pour étudier les courants créés dans le fond de la casserole, on modélise ce dernier par un ensemble de spires circulaires concentriques d'axe $(Oz)$, d'épaisseur $h$ et de largeur $dr$. On admettra que la conductance électrique $dG$ (inverse de la résistance) d'une de ces spires, de rayon $r$, s'écrit

$$\begin{aligned} dG = \dfrac{\gamma h}{2\pi r}.dr \end{aligned}$$

où $\gamma$ est la conductivité du métal utilisé.

Question:

Exprimez le courant élémentaire $di$ induit dans une spire, assimilée à un circuit filiforme de conductance $dG$.

Réponse

Dans un premier temps, on cherche la f.e.m. créée par la variation du flux du champ magnétique sur une spire de rayon $r$:

$$\begin{aligned} e = -\dfrac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}\text{~~avec~~}\Phi = \pi r^2 \vec e_z \cdot \vec B = \pi r^2 B_0 \cos \omega t \Rightarrow e = \pi r^2 B_0 \omega \sin(\omega t) \end{aligned}$$

On obtient finalement le courant $di$ en appliquant la loi des mailles :

$$\begin{aligned} di = dG \times e \Rightarrow di = \dfrac{\gamma h}{2}B_0 \omega \sin(\omega t) rdr \end{aligned}$$

---

Question:

En déduire la puissance moyenne $dP$ dissipée par effet Joule dans une spire.

Réponse

La puissance instantanée dissipée par effet joule vaut $dP_i = e \times i = \pi \dfrac{\gamma h}{2 } B_0^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) r^3 dr$. On obtient la puissance moyenne en prenant la moyenne du terme quadratique :

$$\begin{aligned} dP = \pi \dfrac{\gamma h}{4}B_0^2 \omega^2 r^3 dr \end{aligned}$$

---

Question:

Déterminez alors la puissance totale, $P$, dissipée dans le fond de la casserole en fonction de $B_{0}$, $\omega$, $h$, $\gamma$ et $a$.

Réponse

Il suffit de "sommer" toutes les contributions :

$$\begin{aligned} P = \int dP = \int\limits_0^a \pi \dfrac{\gamma h}{4}B_0^2 \omega^2 r^3 dr = \pi \dfrac{\gamma h}{16}B_0^2 \omega^2 a^4 \end{aligned}$$

---

Question:

Faîtes l'application numérique pour $\gamma = \text{1e7} S.m^{-1}$, $h = \text{5} mm$, $a= \text{10} cm$, $B_{0} = \text{0,1} T$, $\omega = \text{314} rad.s^{-1}$

Réponse

L'.A.N. donne $\text{968} W$.

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : ?

source(s) : ?