Variation d'entropie pour N transformations

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Soit $n$ moles de gaz ($n=1$) parfait à la pression $p=1$ bar et à température la $T_0=450$ K (état 0). On comprime ce gaz de la pression $p$ à $p'=10$ bar de façon réversible et isotherme, puis, on détend le gaz de façon réversible et adiabatique de $p'$ à $p$ (état 1).

Question:

Représentez la suite des transformations dans un diagramme de Watt $(p,V)$.

Réponse

Lors de la transformation menant de l'état 0 ($p,T_0$) à l'état 1 ($p,T_1$), le système { gaz parfait monoatomique } subit d'abord une compression isotherme réversible ($pV=Cte$ : branche d'hyperbole dans le diagramme de Watt) de $p$ à $p'$.

Il se situe alors dans un état intermédiaire $(p',T_0)$ avant de subir une détente adiabatique réversible ($pV^\gamma=Cte$ : courbe de pente plus raide dans le diagramme de Watt) de $p'$ à $p$.

On résume cette suite de transformations dans le tableau suivant.

---

 État 0          isotherme       État Intermédiaire (I)       adiab rév       État 1

$T_0=450$ K $\longrightarrow$ $T_0$ $\longrightarrow$ $T_1$ $p=1$ bar $pV=Cte$ $p'=10$ bar $pV^\gamma=Cte$ $p$

---

On trace enfin l'allure de la transformation (état 0 $\to$ état intermédiaire $\to$ état 1 : $0 \to I \to 1$) sur la figure ci-dessous.

---

Question:

Calculez la température finale $T_1$ du gaz ainsi que la variation d'entropie $\Delta S_1$ en fonction de $n$, $p$ et $p'$ et $R$ la constante des gaz parfaits (On pourra utiliser l'expression de $C_p$ en fonction de $\gamma$ pour simplifier le résultat). Faire l'application numérique.

Réponse

Pour déterminer $T_1$, on peut utiliser une relation de Laplace entre l'état $I$ et l'état $1$ car la transformation est adiabatique réversible et le système est un gaz parfait (conditions d'application remplies). Ainsi, $pV=RT \Rightarrow V=\dfrac{RT}{p}$ et $pV^\gamma=Cte \Rightarrow p^{1-\gamma}.T^\gamma=Cte$ avec $\gamma=\dfrac{C_p}{C_v}=\dfrac{5/2}{3/2}=\dfrac{5}{3}$. D'où entre $I$ et $1$

$$\begin{aligned} p'^{1-\gamma}.T_0^\gamma=p^{1-\gamma}.T_1^\gamma \Rightarrow T_1=T_0\bigg(\dfrac{p'}{p}\bigg)^\dfrac{1-\gamma}{\gamma}\simeq 179 \ \rm K \end{aligned}$$

Puis pour calculer la variation d'entropie $\Delta S_1=S_1-S_0$ du gaz, on utilise d'abord le fait que $S$ est une fonction d'état : peu importe le chemin suivi. La pression initiale et la pression finale sont les mêmes, on peut donc utiliser directement la formule donnée : $S_m(T_f)-S_m(T_i) = C_{p,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}\Rightarrow S(T_f)-S(T_i) = C_p\ln\dfrac{T_f}{T_i}$.

On a affaire à un GP donc $C_p = \dfrac{\gamma}{\gamma-1}nR$ d'où $S(T_f)-S(T_i) = \dfrac{\gamma}{\gamma-1}nR\ln\bigg(\dfrac{p'}{p}\bigg)^\dfrac{1-\gamma}{\gamma} =\dfrac{\gamma}{\gamma-1}nR\dfrac{1-\gamma}{\gamma}\ln\bigg(\dfrac{p'}{p}\bigg) =-nR\ln\bigg(\dfrac{p'}{p}\bigg)$ A.N. $- 8.314 \ln(10) = -19,1$ J/K.

---

Question:

On recommence la même opération depuis l'état 1 ($p,T_1$) $\to$ état 2 ($p,T_2$) $\to$ ...$\to$ état $N$ ($p,T_N$). Complétez le diagramme de Watt et déterminez la variation d'entropie du gaz après les $N$ opérations ainsi que la température finale $T_N$ et enfin la variation d'énergie interne $\Delta U_N$ en supposant le gaz parfait monoatomique.\ Faîtes ensuite les applications numériques pour $N=5$.

Réponse

On répète $N$ fois la même opération depuis l'état 1 ($p,T_1$) $\to$ état 2 ($p,T_2$) $\to$ ... $\to$ état $N$ ($p,T_N$), le diagramme de Watt est constitué de $N$ isothermes réversibles et $N$ adiabatiques réversibles (Cf figure ci-dessus).

En décomposant la variation d'entropie

$$\begin{aligned} \Delta S_N=\Delta S_{0 \to N}=\Delta S_{0 \to 1}+\Delta S_{1 \to 2}+...+\Delta S_{N-1 \to N}=\sum_{i=1}^{N}\Delta S_{i-1 \to i} \end{aligned}$$

avec, en reprenant le même raisonnement que lors de la question 2, $\Delta S_{i-1 \to i}=-nR\ln \dfrac{p'}{p}$ pour tout $i$. On en déduit $\Delta S_N=-NnR\ln \dfrac{p'}{p} \simeq -95,7$ J.K$^{-1}$ pour $N=5$.

En utilisant une relation de Laplace entre les états 0 et 1, on a montré que $T_1=T_0(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{1-\gamma}{\gamma}$.

De même, entre les états 2 et 1, on pourra montrer que $T_2=T_1(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{1-\gamma}{\gamma}=T_0(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{2(1-\gamma)}{\gamma}$.

Ou encore, entre 3 et 2 : $T_3=T_2(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{1-\gamma}{\gamma}=T_0(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{3(1-\gamma)}{\gamma}$.

On généralise immédiatement : $T_N=T_0(\dfrac{p'}{p})^\dfrac{N(1-\gamma)}{\gamma}=4,5$ K pour $N=5$.

Enfin, comme on travaille sur un gaz parfait, on a d'après la première loi de Joule,

$$\begin{aligned} \Delta U_N=C_V.\Delta T=\dfrac{3}{2}R(T_N-T_0) \simeq -5560 \text{ J.} \end{aligned}$$

---

Question:

Voyez-vous une application ? Discuter l'hypothèse du gaz parfait si $N$ grand

Réponse

On voit qu'on peut rapidement obtenir un fluide à très faible température, c'est le principe d'un liquéfacteur. Mais à des températures si faibles, on n'a plus un gaz mais un liquide puis un solide

---

Rappel pour un GP :\ \begin{aligned} S_m(T_f,p_f)-S_m(T_i,p_i)=C_{p,m}\ln\dfrac{T_f}{T_i}- R \ln\dfrac{p_f}{p_i} \end{aligned}

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : ?

source(s) : ?