Vers une transformation réversible ?

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Un bloc de cuivre de masse $m$, de capacité calorifique massique $c$ et à la température $T_0$ est plongé dans un lac à la température $T_f$.

Question:

Quel est l'état final du bloc de cuivre (température et volume) ?

Réponse

À la fin de la transformation, le cuivre est à la même température que le lac $T_f$ et n'a pas changé de volume.

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Question:

Calculez la variation d'entropie du bloc de cuivre puis l'entropie créée.

Réponse

On calcule la variation d'entropie du bloc de cuivre en utilisant les formules données :

$$\begin{aligned} \Delta S_\text{Cu}=C\ln{\dfrac{T_f}{T_0}}=mc\ln{\dfrac{T_f}{T_0}} \end{aligned}$$

Pour l'entropie créée, on utilise le second principe.

$$\begin{aligned} \Delta S_\text{Cu}=S_e+S_c=\dfrac{Q}{T_f}+S_c \end{aligned}$$

On prend en compte $T_f$ parce que c'est la température du thermostat avec lequel le système cuivre est en contact. Pour trouver $Q$, on utilise le premier principe appliqué au cuivre : $\Delta U=Q$. Puisque l'on a affaire à une phase condensée, on la suppose incompressible et indilatable et on peut écrire : $\Delta U_\text{Cu}=mc\Delta T$. D'où

$$\begin{aligned} S_c=\Delta S_\text{Cu}-S_e=mc\ln{\dfrac{T_f}{T_0}}-\dfrac{mc(T_f-T_0)}{T_f} \end{aligned}$$

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Question:

Au lieu plonger directement le bloc de cuivre dans le lac, on le place d'abord dans un thermostat à température intermédiaire $T_1$.\ Calculez la variation d'entropie du bloc de cuivre puis l'entropie créée pour la transformation totale (donc les deux étapes).

Réponse

Comme l'entropie du cuivre est une fonction d'état, sa variation de ne dépend que de l'état initial et final et non du chemin suivi. On a donc toujours $\Delta S_\text{Cu}=mc \ln \dfrac{T_f}{T_0}$.

Pour l'entropie créée, l'entropie créée au totale est égale à la somme des entropies créées lors de chaque étape. En utilisant à nouveau le résultat précédent pour chaque étape :

$$\begin{aligned} S_c=S_{c,1}+S_{c,2}=mc\ln{\dfrac{T_1}{T_0}}-\dfrac{mc(T_1-T_0)}{T_1}+mc\ln{\dfrac{T_f}{T_1}}-\dfrac{mc(T_f-T_1)}{T_f} \end{aligned}$$

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Question:

En réalité, on plonge le bloc de cuivre successivement dans $N$ sources dont les températures $T_i$ s'échelonnent régulièrement de $T_0$ à $T_f$ ($i=1,2...$). Calculez la variation d'entropie du bloc de cuivre entre l'état initial et l'état final, ainsi que l'entropie créée.

Réponse

En reprenant le raisonnement précédent mais cette fois avec $N$ lacs, on obtient toujours $\Delta S_\text{Cu}=mc \ln \dfrac{T_f}{T_0}$ et cette fois en généralisant à $N$ lacs, (la somme des logarithmes se simplifie car ils se télescopentfg2 à 2.

$$\begin{aligned} \Rightarrow S_c =mc \bigg[\ln \dfrac{T_f}{T_0}-\sum_{i=1}^N \dfrac{T_i-T_{i-1}}{T_i}\bigg] \end{aligned}$$

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Question:

Étudiez la limite quand $N$ tend vers $+ \infty$ puis interprétez

Réponse

Quand $N$ tend vers $+ \infty$, la différence de température en deux lacs successifs $\Delta T=T_i-T_{i-1}$ tend vers 0, on peut donc passer de la somme discrète $\sum$ à une intégrale $\int$ :

$$\begin{aligned} S_c=mc \bigg[\ln \dfrac{T_f}{T_0}-\sum_{i=1}^N \dfrac{T_i-T_{i-1}}{T_i}\bigg] \simeq mc \bigg[\ln \dfrac{T_f}{T_0}-\int_{T_0}^{T_f}\dfrac{dT}{T}\bigg] =mc \bigg[\ln \dfrac{T_f}{T_0}-\ln \dfrac{T_f}{T_0}\bigg]=0 \end{aligned}$$

La transformation devient donc réversible. En effet, comme $\Delta T \to 0$, le transfert thermique s'effectue entre le cuivre et un thermostat qui est quasiment à la même température.

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Rappel pour une phase condensée :\ \begin{aligned} \Delta S=C\ln{\dfrac{T_f}{T_0}}=mc\ln{\dfrac{T_f}{T_0}} \end{aligned}

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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