Effet Zeeman

Partie: Electromagnetisme

niveau: PTSI

Un atome d'hydrogène comporte un proton de charge $+e$ supposé immobile en $O$ et un électron de masse $m$ et de charge $-e$ . L'atome étant stable, on suppose qu'il existe un minimum de potentiel et que l'on peut donc modéliser la force exercée par le proton sur l'électron par une force de rappel élastique $\vec f = -k\overrightarrow{OM}$ (modèle de l'électron élastiquement lié), où $k$ est une constante. Le poids est négligé. On supposera dans l'exercice que le mouvement est plan (plan $z=0$ )

Question:

Expliquez la phrase il existe un minimum de potentiel [...] force de rappel élastiquefg à l'aide de vos connaissances de cours.

Réponse

c.f. cours d'énergétique du point matériel.

Question:

Trouvez des équations différentielles satisfaites par les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ .

Réponse

$m\ddot x = -k x$ idem selon y

Question:

Quelle est la pulsation $\omega_0$ du mouvement ? Montrez que la trajectoire obtenue est une ellipse.

Réponse

$\sqrt{k/m}$ ; ellipse

Question:

On soumet l'atome au champ magnétique uniforme et stationnaire $\vec B = B_0\vec u_z$ . Écrirvez les nouvelles équations du mouvement.

Réponse

$m\ddot x = -e\dot y B_0-kx$ et $m\ddot y =e\dot x B_0-ky$

Question:

Les résoudre en posant $u(t) = x(t) + j y(t)$ ( $j^2 = -1$ ). Montrez que le mouvement est désormais caractérisé par deux pulsations $\omega_1$ et $\omega_2$

Réponse

On obtient alors l'E.D. suivante

$\begin{aligned} m\ddot u -jeB_0\dot u +ku = 0 \end{aligned}$

dont les racines du polynome caracteristique vallent

$\begin{aligned} r= \dfrac{jeB_0\pm j\sqrt{e^2B_0^2+4mk}}{2m} \end{aligned}$

On en déduit finalement que

$\begin{aligned} \omega_{\pm} = \dfrac{eB_0\pm \sqrt{e^2B_0^2+4mk}}{2m} \end{aligned}$

Question:

Expliquer le sens physique de ce qui précède.

Réponse

dédoublement autour de $\omega_0$ , levé de dégénérescence au niveau quantique ; permet de mesure des champs magnétiques d'étoiles !

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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