Arrêt d'urgence

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Une voiture $M$ de masse $m$ suit une route droite et horizontale à une vitesse constante $\vec{v}_0=v_0.\vec{e}_y$ jusqu'à l'instant $t=0$ où le conducteur aperçoit un mur infini perpendiculaire à la route à la distance $D$.

On suppose pour simplifier que seulement deux choix s'offrent au conducteur :

• soit il freine brutalement en bloquant les roues (la voiture n'a pas d'ABS) tout en gardant une trajectoire rectiligne.

• soit il tourne sans freiner et à la limite du dérapage sur une trajectoire circulaire pour essayer d'éviter le mur (considéré comme infini).

On supposera que la nature du contact des roues avec le sol est telle que dans les deux cas, la composante tangentielle de la force de frottement est proportionnelle (facteur $f$) à sa composante normale $T=f.N$ (loi de Coulomb sur les frottements).

Question:

Quel est le meilleur choix ?

Réponse

Premier choix : la voiture parcourt une trajectoire rectiligne selon l'axe $Oy$.

On se place dans le référentiel galiléen lié au sol, le système étudié est { le point matériel $M$ }.

Bilan des forces (Cf fig ci-dessous) :

le poids $\vec{p}=m.\vec{g}$,

la réaction du support $\vec{R}=\vec{T}+\vec{N}$ en décomposant la réaction normale $\vec{N}$ et la réaction tangentielle $\vec{T}$ avec $T=||\vec{T}||=f.||\vec{N}||=fN$.

On applique la seconde loi de Newton (ou principe\ fondamental de la dynamique PFD) : $\vec{p}+\vec{T}+\vec{N}=m.\vec{a}$ où $\vec{a}$ est l'accélération de $M$.

On a tout intérêt ici à travailler dans la dans cartésienne $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$.

On a alors $\vec{a}=\ddot{x}.\vec{e}_x+\ddot{y}.\vec{e}_y+\ddot{z}.\vec{e}_z=\ddot{y}.\vec{e}_y$.

Forces : $\vec{p}=-mg.\vec{e}_z$ et $\vec{R}=\vec{N}+\vec{T}=N.\vec{e}_z-T.\vec{e}_y$.

Par projection du PFD selon $\vec{e}_y$, on obtient $m\ddot{y}=-T \Rightarrow \ddot{y}=-\dfrac{T}{m}=-\dfrac{fN}{m}$.

On détermine ensuite $N$ par projection du PFD selon $\vec{e}_z$ : $0=mg-N \Rightarrow N=mg$.

On a ainsi $\ddot{y}(t)=-fg<0$ : mouvement rectiligne uniformément décéléré.

Par intégration successives et en respectant les conditions initiales, on en déduit $\dot{y}(t)=v(t)=-fgt+v_0$ et $y(t)=-\dfrac{1}{2}fgt^2+v_0t$ l'équation horaire.

Il faut que la voiture s'arrête ($v(t)=0$) avant de toucher le mur ($y(t_1) \leq D$).

On a $v(t_1)=0 \Rightarrow -fgt_1+v_0=0 \Rightarrow t_1=\dfrac{v_0}{fg}$ et $y(t_1) \leq D \Rightarrow -\dfrac{1}{2}fgt_1^2+v_0t_1=-\dfrac{1}{2}fg[\dfrac{v_0}{fg}]^2+v_0.\dfrac{v_0}{fg}=\dfrac{v_0^2}{2fg} \leq D$ Finalement, il faut que $D \geq \dfrac{v_0^2}{2fg}$.

Deuxième choix : mouvement circulaire uniforme à la limite d'adhérence (figure ci-dessous). Ce choix est le bon si le rayon de courbure est inférieur ou égal à $D$ (contre exemple tracé en pointillés).

En conservant le même système et référentiel, le bilan des forces reste identique et $m.\vec{a}=\vec{p}+\vec{N}+\vec{T}=\vec{T}$ car comme la route est horizontale, $\vec{N}=-\vec{p}$.

Vu le type de mouvement, il vaut mieux se placer dans la base cylindro-polaire ($\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z)$, l'origine du repère étant maintenant $I$ le centre du cercle de rayon $D$ (on se place dans le cas limite).

On a alors $\vec{T}=-T.\vec{e}_r$ et $\vec{IM}=D.\vec{e}_r \Rightarrow \vec{v}=D\dot{\theta}.\vec{e}_\theta$ et $\vec{a}=-D\dot{\theta}^2.\vec{e}_r$ avec $v=v_0=D\dot{\theta} \Rightarrow \dot{\theta}=\dfrac{v_0}{D} \Rightarrow \vec{a}=-\dfrac{v_0^2}{D}.\vec{e}_r$

Par projection du PFD selon $\vec{e}_r$, on obtient $-m\dfrac{v_0^2}{D}=-T$.

Il faut que le virage soit serré mais pas trop car la réaction tangentielle des roues sur le sol ne doit pas dépasser la valeur limite $T=fN=fmg$ au delà de laquelle la voiture va déraper.

Dans le cas limite, on a donc $T=m\dfrac{v_0^2}{D}=fmg \Rightarrow D=\dfrac{v_0^2}{fg}$.

En conclusion : la voiture s'arrête à la distance $\dfrac{v_0^2}{2fg}$ de $O$ (choix n°1) ou évite le mur sans freiner s'il est à une distance supérieure à $\dfrac{v_0^2}{fg}$ deux fois plus grande.

Au moins de ne plus avoir de freins, il vaudra mieux écraser la pédale des freins plutôt de d'essayer d'éviter le mur infini.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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