Domino le chien

Partie: Mecanique

niveau: PTSI

Le chien Domino $D$ est attaché à un arbre $A$ circulaire de rayon $R$ par l'intermédiaire d'une laisse de longueur $l_0=6 \pi R$ constante qui s'enroule autour de l'arbre.

Il commence à courir à la date $t=0$ (position $D_0$) avec une vitesse tangentielle à tout instant et de norme constante $v_0$, sa laisse restant tendue en permanence.

Question:

Donnez en coordonnées polaires l'expression du vecteur position $\overrightarrow{OD}$ du chien Domino à la date $t$ en l'assimilant au point $D$.

Réponse

La position du chien est donnée par $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{ID}=R.\vec{e}_r+ID(t).\vec{e}_\theta$ son vecteur position avec $ID(t)=l(t)=l_0-I_0I=l_0-R\theta$ la longueur de la corde à l'instant $t$.

On a ainsi $\overrightarrow{OD}=R.\vec{e}_r+(l_0-R\theta(t)).\vec{e}_\theta$.

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Question:

En déduire l'expression de sa vitesse.

Réponse

On en déduit la vitesse de $D$ par dérivation temporelle $\vec{v}=\dfrac{\overrightarrow{OD}}{dt}=R\dot{\theta}.\vec{e}_\theta-R\dot{\theta}\vec{e}_\theta+(l_0-R\theta)(-\dot{\theta}\vec{e}_r)$ soit $\vec{v}=-(l_0-R\theta)\dot{\theta}\vec{e}_r$. On vérifie sur la figure que $\vec{v}$ est effectivement selon $-\vec{e}_r$.

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Question:

En utilisant l'hypothèse $v=v_0$ constante, montrer à l'aide de la méthode de séparation des variables que $\theta(t) = \dfrac{l_0}{R}\left( 1 - \sqrt{1- \dfrac{2Rv_0t}{l_0^2}} \right)$ puis donner ensuite l'expression de $r(t)$.

Réponse

D'après les questions précédentes, on a $||\vec v|| = v_0 = (l_0 - R \theta) \dot{\theta}$. On en déduit que

$$\begin{aligned} \int\limits_0^t v_0 dt' = \int\limits_0^{\theta(t)} (l_0-R\theta)d\theta \Rightarrow v_0t = l_0 \theta(t) - R \dfrac{\theta(t)^2}{2} \end{aligned}$$

On obtient un polynome d'ordre deux pour $\theta(t)$ dont on garde la racine pertinente (celle ou $\theta(t)$ augmente). L'autre solution vient du fait que l'on a considéré la norme de la vitesse et qu'on a perdu le sens du mouvement. On obtient alors

$$\begin{aligned} \theta(t) = \dfrac{l_0}{R}\left( 1 - \sqrt{1- \dfrac{2Rv_0t}{l_0^2}} \right) \end{aligned}$$

De même, on a $r(t)^2 = R^2 + l(t)^2$ avec $l(t) = l_0 = R\theta(t) = l_0\sqrt{1- \dfrac{2Rv_0t}{l_0^2}}$. On en déduit que

$$\begin{aligned} r(t) = \sqrt{R^2 + l_0^2- 2Rv_0t} \end{aligned}$$

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Question:

Écrivez en coordonnées polaires l'équation $r(\theta)$ de la trajectoire et tracer son allure.

Réponse

En reprenant $OD^2=r^2=OI^2+ID^2=R^2+(l_0-R\theta)^2=R^2+(6\pi R-R\theta)^2=R^2[1+(6\pi-\theta)]$ d'où $r=R\sqrt{1+(6\pi-\theta)}$ ce qui correspond à l'équation d'une spirale.

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Question:

À quel endroit et à quelle date la course s'achève-t-elle ?

Réponse

La course de $D$ se termine quand $DI=0 \iff r=R$ ce qui correspond à $\theta=6\pi$ c'est à dire en $I_0$ et après 3 tours complets. On a alors $t=t_f$ tel que $(l_0-6\pi R)^2=-2Rv_0t_f+l_0^2 \Rightarrow t_f=\dfrac{36\pi^2R}{v_0}$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard & D'après 30 semaines de Khôlles