Filtrage

Partie: Electronique

niveau: PT

Question:

Etablissez la fonction de transfert du montage ci-dessus et la mettre sous la forme :

$$\begin{aligned} \underline{H}=-\dfrac{j\dfrac{\omega}{\omega_1}}{\left( 1+j\dfrac{\omega}{\omega_1} \right) \left( 1+j\dfrac{\omega}{\omega_2} \right) } \end{aligned}$$

Réponse

Branchement sur la borne inverseuse de l'ALI donc fonctionnement linéaire supposé. Il suffit alors d'appliquer la LNTP en $V_- = V_+ = 0$ :

$$\begin{aligned} \underline{H} &= - \dfrac{1}{Z_1Y_2},~~Z_1 = R+ \dfrac{1}{jC_1\omega}~\text{ et }~Y_1 = \dfrac{1}{R}+ jC_2\omega \\ \Rightarrow ~~~H & = - \dfrac{jRC_1 \omega}{(1+jRC_1 \omega)(1+jRC_2 \omega)} \end{aligned}$$

soit par identification : $\omega_1 = 1/(RC_1)$ et $\omega_2 = 1/(RC_2)$

---

Question:

Le gain est tracé ci-dessous ; figurent le gain réel et le gain asymptotique. En déduire les valeurs de $RC_1$ et de $RC_2$.

Réponse

On retrouve $\omega_1$ et $\omega_2$ aux intersections des asymptotes : $\omega_1 = \text{40} rad.s^{-1}$ et $\omega_2 = \text{1,0e4} rad.s^{-1}$ (il convient de s'assurer que $\omega_1 < \omega_2$ avant de répondre à la question). En cas de doute, on peut écrire les équations des asymptotes $Y_1 = \omega/\omega_1$, $Y_2 = 1$ et $Y_3 = \omega_2/\omega$ et chercher leurs intersections.

---

Question:

Le montage peut-il être utilisé en dérivateur ? En intégrateur ?

Réponse

On observe un comportement dérivateur pour $f \ll f_1$ (+20dB par déc.) et intégrateur pour $f\gg f_2$ (+20 dB par déc.).

---

Question:

Représentez l'allure de $s(t)$ si $e(t)$ est un signal créneau de pulsation $\omega=2$ rad.s$^{-1}$ et d'amplitude 2V.

Réponse

Dans ce cas, on a $\omega \ll \omega_1$ et l'essentiel des harmoniques se trouvent dans la zone "dérivateur". On obtient donc une sortie type "impulsion" positives puis négatives. En pratique, il s'agit plutôt d'exponentielles décroissantes.

---

Question:

Tracez l'allure de la réponse de ce système à un échelon de tension lorsque $C_1=C_2$. On supposera que les condensateurs sont initialements déchargés.

Réponse

Il convient dans un premier temps d'obtenir l'E.D. du système à partir de la fonction de transfert :

$$\begin{aligned} &\underline{H} = -\dfrac{jx}{1 + 2jx +(jx)^2} \text{~~avec~~} x = \omega / \omega_1 = \omega / \omega_2 \Rightarrow \underline{u}_s \left( 1 + 2jx +(jx)^2 \right) = jx s\underline{u}_e \\ \Rightarrow & \dfrac{\mathrm{d}^2 u_s}{\mathrm{d} t^2} + 2\omega_0 \dfrac{\mathrm{d} u_s}{\mathrm{d} t} + \omega_0^2 u_s = \omega_0 \dfrac{\mathrm{d} u_e}{\mathrm{d} t} \end{aligned}$$

avec ici, $u_e = cste$ lorsque $t>0$. Le facteur de qualité associé vaut $1/2$ et on obtient un régime critique avec comme condition initiale $u_s(0^+) = u_s(0^-) = 0$ d'après l'énoncé puis $\dfrac{\mathrm{d} u_s}{\mathrm{d} t}(0^+) = -E/(RC)$ (démo à base de LdN et LdM à $t=0^+$).

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : ?