Cycle Diesel

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Une mole de gaz parfait subit les transformations suivantes :

état (1) $\to$ état (2) : compression adiabatique réversibles

état (2) $\to$ état (3) : dilatation à pression constante (avec $P=P_{ext}$)

état (3) $\to$ état (4) : détente adiabatique réversibles

état (4) $\to$ état (1) : refroidissement à volume constant .

Chaque état est défini par la pression $P_i$, la température $T_i$ et le volume $V_i$ ($i$ variant de 1 à 4). On appelle $\gamma$ le rapport des capacités calorifiques molaires $\dfrac{C_{Pm}}{C_{Vm}}$. On définit $x=\dfrac{V_1}{V_2}$ le taux de compression et $z= \dfrac{V_1}{V_3}$ le taux de détente.

Question:

Représentez sommairement le cycle sur un diagramme de Watt (P,V) puis un diagramme entropique (T,S).

Réponse

On en déduit l'allure du cycle dans le diagramme de Watt (figure ci-dessous à gauche) et dans le diagramme entropique (ci-dessous à droite).

Les deux cycles sont parcourus dans le sens horaire, ce qui correspond bien à un moteur.

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Question:

Exprimez le rendement $\rho$ de ce moteur en fonction :

• des travaux et transferts thermiques,

• puis des températures $T_i$ et de $\gamma$,

• et enfin de $x$, $z$ et $\gamma$.

On exprimera $T_2$, $T_3$ et $T_4$ en fonction de $T_1$, $x$, $\gamma$ et $z$.

Réponse

Le rendement $\rho$ du moteur est par définition

$$\begin{aligned} \rho=\dfrac{|\text{énergie à optimiser}|}{|\text{énergie coûteuse}|}=\dfrac{|W_\text{Cycle}|}{|Q_c|}=-\dfrac{W_\text{Cycle}}{Q_c} \end{aligned}$$

où $W_\text{Cycle}<0$ est le travail algébrique reçu par le gaz au cours du cycle et $Q_c>0$ le transfert thermique reçu par le système au contact avec la source chaude, c'est à dire lors du réchauffement isobare $2 \to 3$.

Lors d'un cycle, d'après le premier principe (usuel) de la thermodynamique, $\Delta U_\text{Cycle}=U_1-U_1=0=W_\text{Cycle}+Q_\text{Cycle} \Rightarrow W_\text{Cycle}=-Q_\text{Cycle}=-Q_{12}-Q_{23}-Q_{34}-Q_{41}=-Q_{23}-Q_{41}$ et $\rho=\dfrac{Q_{23}+Q_{41}}{Q_{23}}=1+\dfrac{Q_{41}}{Q_{23}}$

La transformation $2 \to 3$ est isobare donc $Q_{23}=\Delta H_{23}=C_p(T_3-T_2)$ et $4 \to 1$ est isochore d'où $Q_{41}=\Delta U_{41}=C_V(T_1-T_4)$. On en déduit

$$\begin{aligned} \rho=1+\dfrac{Q_{41}}{Q_{23}}=1+\dfrac{C_V(T_1-T_4)}{C_p(T_3-T_2)}=1-\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2} \end{aligned}$$

$1 \to 2$ et $3 \to 4$ sont des transformations adiabatiques réversibles d'un gaz parfait et par application des relations de Laplace, $pV^\gamma=Cte$ avec $p=\dfrac{nRT}{V}$ d'où $TV^{\gamma-1}=Cte$

$$\begin{aligned} \Rightarrow T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_2^{\gamma-1} \Rightarrow T_2=T_1.\bigg[\dfrac{V_1}{V_2}\bigg]^{\gamma-1}=T_1.x^{\gamma-1} \text{ et}T_3=T_4.\bigg[\dfrac{V_4}{V_3}\bigg]^{\gamma-1}=T_4.z^{\gamma-1} \end{aligned}$$

La transformation $2 \to 3$ est isobare donc $p_2=p_3$ et d'après l'équation d'état

$$\begin{aligned} \dfrac{nRT_2}{V_2}=\dfrac{nRT_3}{V_3}\Rightarrow T_3=T_2\dfrac{V_3}{V_2}=T_2\dfrac{V_3}{V_1}.\dfrac{V_1}{V_2}=T_2\dfrac{x}{z}=\dfrac{x}{z}.T_2 =\dfrac{x}{z}.T_1.x^{\gamma-1}\Rightarrow T_3=T_1\dfrac{x^\gamma}{z} \end{aligned}$$

et en reprenant la relation liant $T_3$ à $T_4$,

$$\begin{aligned} T_4=T_3.z^{1-\gamma}=T_1\dfrac{x^\gamma}{z}.z^{1-\gamma}=T_1.\bigg[\dfrac{x}{z}\bigg]^\gamma \Rightarrow \rho=1-\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{[\dfrac{x}{z}]^\gamma-1}{x^{\gamma-1}-\dfrac{x^\gamma}{z}} =1-\dfrac{1}{\gamma}\dfrac{x^\gamma-z^\gamma}{x^{\gamma-1}z^\gamma-x^\gamma z^{\gamma-1}} \end{aligned}$$

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Question:

Réalisez l'application numérique pour $x=21$, $z=7$, $\gamma = 1,4$ et commentez

Réponse

L'application donne $\rho \simeq 0,61$ soit 61 %. Cette valeur semble assez élevée pour un moteur thermique réel.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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