Ailette de refroidissement

Partie: Thermodynamique

niveau: PT

On considère une barre de cuivre cylindrique de rayon $a=\text{5} mm$, et de longueur $L$ jouant le rôle d'une ailette de refroidissement.

En $x=0$, la barre de cuivre est en contact avec un milieu à la température $T_0=\text{330} K$. Tout le reste de la tige est en contact avec l'air ambiant de température uniforme $T_e=\text{300} K$. On appelle $\lambda=\text{400} W.m^{-1}.K^{-1}$ la conductivité thermique du cuivre et $h=\text{12} W.m^{-2}.K^{-1}$ le coefficient de transfert conducto-convectif entre la barre de cuivre et l'air. On se place en régime stationnaire. On pose $\delta=\sqrt{\dfrac{\lambda a}{2h}}$

On considère dans un premier temps la barre quasi-infinie.

Question:

Établissez l'équation différentielle vérifiée par la température $T(x)$ dans la barre en régime permanent.

Réponse

On effectue un bilan thermodynamique sur une petite tranche d'épaisseur $dx$ de la tige :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}= \pi a^2(F(x)-F(x+\mathrm{d} x)) + (2\pi a \mathrm{d} x) h(T_e - T(x))~~~~~\text{avec}~~~F(x) = -\lambda \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}T \end{aligned}$$

De plus, l'application du premier principe donne : $dU =\delta q = 0$ en régime permanent et on en déduit :

$$\begin{aligned} \boxed{\dfrac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2}T - \dfrac{2 h}{\lambda a}T =- \dfrac{2 h}{\lambda a}T_e} \end{aligned}$$

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Question:

La résoudre en tenant compte de deux conditions aux limites qu'on précisera.

Réponse

Cette équation peut se résoudre en utilisant les fonction exponentielles :

$$\begin{aligned} T(x) = \alpha \text{exp}(x/\delta) + \beta \text{exp}(-x/\delta) + T_e \end{aligned}$$

On utilise comme première CL, la température en $x=0$ qui donne $\alpha + \beta= T_0 - T_e$. On suppose de plus qu'à l'infini, la température de la tige tend vers celle de l'extérieur. On en déduit $\alpha=0$ d'où au final :

$$\begin{aligned} \boxed{T(x) = (T_0-T_e) e^{-x/\delta}+ T_e} \end{aligned}$$

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Question:

Calculez $\delta$. Que représente cette grandeur ?

Réponse

$\boxed{\delta \approx \text{28} cm}$ représente la profondeur de pénétration sous laquelle on peut observer l'influence de la température de surface $T_0$. Au delà de quelque $\delta$, on a $T(x) \approx T_e$

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Question:

On considère maintenant la tige de longueur $L=\text{20} cm$. Peut-on toujours la considérer infinie ? Pourquoi ?

Réponse

non, car on n' a pas $L \gg \delta$. La température à l'extrémité de l'ailette n'est donc pas égale à la température extérieure.

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Question:

En déduire le nouveau jeu de conditions limites permettant de résoudre le problème.

Réponse

Il suffit de reconsidérer la seconde condition limite à l'aide de la continuité du flux thermique en $x=L$ :

$$\begin{aligned} \boxed{\lambda \dfrac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}(L) = h (T(L) - T_e)} \end{aligned}$$

La première CL n'est elle, pas changée : $T(0) = T_0$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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