Détente d'un gaz parfait

Partie: Thermodynamique

niveau: PTSI

Un cylindre à parois diathermes, fermé par un piston, contient une mole d'un gaz parfait dans l'état initial ($T_1=273$ K, $P_1=3$ bars). Ce système est plongé dans un bain eau - glace constituant un thermostat à $0$ °C. On agit sur le piston mobile pour détendre, de façon réversible, le gaz jusqu'à la pression $P_2=1$ bar.

Question:

Déterminez la masse $m$ de glace apparaissant dans le thermostat, l'enthalpie massique de fusion de la glace étant $L_F=334$ J.g$^{-1}$.

Réponse

Si on suppose qu'il reste de l'eau liquide à la fin du processus, la température du bain de glace reste constante ($T_1=T_\text{fusion}$) et la détente du gaz est isotherme.

Le système {eau} subit une solidification partielle à pression constante :

$$\begin{aligned} Q_\text{eau}=\Delta H=mL_\text{Solid}=-mL_\text{fus}=-mL_F \end{aligned}$$

où $m$ est la masse d'eau solide formée.

Si on considère le système { eau + gaz } isolé de l'extérieur, les transferts thermiques se produisent uniquement entre le gaz et l'eau d'où $Q_\text{sys}=0 \Rightarrow Q_\text{eau}+Q_\text{gaz}=0 \Rightarrow Q_\text{eau}=-Q_\text{gaz}$ avec comme on l'a vu $\Delta U_\text{gaz}=0=W_\text{gaz}+Q_\text{gaz} \Rightarrow Q_\text{gaz}=-W_\text{gaz}$.

La détente étant réversible (donc quasi-statique), $\delta W_\text{gaz}=-P_e dV=-PdV=-nRT_1\dfrac{dV}{V}$ et $W_\text{gaz}=-nRT_1\ln \dfrac{V_2}{V_1}=nRT_1\ln \dfrac{P_2}{P_1}$ car $P_1V_1=P_2V_2$ et finalement,

$$\begin{aligned} mL_f=-Q_\text{eau}=Q_{\rm gaz}=-W_{\rm gaz}=-RT_1\ln \dfrac{P_2}{P_1}\Rightarrow m=\dfrac{RT_1}{L_f}\ln \dfrac{P_1}{P_2}\simeq 7,46 \text{ g.} \end{aligned}$$

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Question:

Calculez la variation d'entropie du gaz et celle du thermostat

Réponse

On utilise l'expression des variations de l'entropie des gaz, phases condensées et lors d'un changement d'état données dans le cours.

pour le gaz parfait

$$\begin{aligned} S(T,P)=S(T_{0},P_{0}+C_{P}\ln \dfrac{T}{T_{0}}-nR \ln \dfrac{P}{P_{0}}\Rightarrow \Delta S_\text{gaz}=-nR\ln \dfrac{P_2}{P_1}\simeq 9,13 \text{ J.K}^{-1} \end{aligned}$$

Pour le thermostat, seule la masse $m$ d'eau liquide passe à l'état solide,

$$\begin{aligned} \Delta S_\text{eau}=\dfrac{m\Delta h_\text{solidification}}{T_1}=-\dfrac{mL_F}{T_1}\simeq -9,13 \text{ J.K}^{-1} \end{aligned}$$

Le système { eau + gaz } est isolé et subit une transformation réversible, il est donc normal d'obtenir $\Delta S=S_e+S_c=0+0=0$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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