Propulseur electromagnétique

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Un propulseur électromagnétique est capable d'accélérer de petites masses de l'ordre du gramme et de les éjecter à des vitesses supersoniques de l'ordre de plusieurs kilomètres par seconde.

Le circuit électrique suivant possède une partie mobile, constituée d'un barreau pouvant glisser sans frottement le long de deux rails parallèles de direction $Ox$. La résistance $R$ est supposée constante, mais l'inductance propre $L$ dépend de l'abscisse du barreau : $L(x)$.

Les deux rails, ayant pour diamètre $h=\text{0.5} cm$, sont séparé de la distance $w=\text{2} cm$. Ces derniers sont d'une longueur $l=\text{12} cm$

Question:

Lorsqu'un courant $I(t)$ parcourt le circuit, le barreau se met en mouvement. Justifier qualitativement.

Réponse

Le courant $I$ va être à l'origine de l'apparition d'un champ magnétique propre globalement aligné avec $\vec S$, le vecteur surface normal à la spire, qui va lui même mener à l'apparition d'une force de Laplace de résultante non nulle sur le barreau selon l'axe $Ox$

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Question:

Réaliser un bilan de puissance à partir de l'équation électrique du système

Réponse

Ici, on est pas en présence de champ $B$ externe. Le phénomène d'autoinduction est modélisé par la présence d'une inductance $L$ non constante telle que $\phi_p = Li$. La loi des mailles indique

$$\begin{aligned} e(t) = RI(t) + \dfrac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t}\Rightarrow e = RI +I \dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}+ L \dfrac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}\Rightarrow e = RI + I \dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}v + L \dfrac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} \end{aligned}$$

en notant $v = \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ la vitesse du barreau. On multiplie alors cette équation par le courant

$$\begin{aligned} \boxed{ eI = RI^2 + I^2 \dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}v + \dfrac{1}{2}L \dfrac{\mathrm{d} I^2}{\mathrm{d} t} } \end{aligned}$$

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Question:

Une partie de la puissance fournie par le générateur correspond à la variation de l'énergie magnétique $\dfrac{\mathrm{d} U_m}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\mathrm{d} (1/2)LI^2}{\mathrm{d} t}$ qui serait emmagasinée dans le circuit si l'abscisse $x$ était constante, l'autre partie est la puissance mécanique $P_{meca}$ donnée au barreau et la dernière, à la puissance dissipée par effet Joule. Exprimer $P_{meca}$ en fonction de $I(t)$, $\dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}$ et $\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$.

Réponse

On en déduit que

$$\begin{aligned} P_{meca} = I^2 \dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}v + \dfrac{1}{2}L \dfrac{\mathrm{d} I^2}{\mathrm{d} t} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d} LI^2}{\mathrm{d} t} = \dfrac{1}{2} I^2 \dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x}v \end{aligned}$$

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Question:

En déduire que la force qui s'exerce sur le barreau à pour expression $F = \dfrac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x} I^2$.

Réponse

On a $P_{meca} = \vec F \cdot v\vec e_x = Fv \Rightarrow \boxed{F = \dfrac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x} I^2}$ d'où le résultat.

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Question:

Dans le modèle simple d'une ligne constituée de deux rails parallèles, de longueur $l$, séparés d'une distance $w$, on admet que l'inductance linéique est de l'ordre de $\dfrac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} x} = \dfrac{\mu_0 w}{h}$. On souhaite qu'une particule de masse $m =\text{3} g$ initialement au repos atteigne une vitesse de $v_f =\text{6} km.s^{-1}$. En supposant l'intensité constant, quelle valeur doit on choisir ?

Réponse

On applique le TEC à la particule dans le référentiel d'étude supposé galiléen entre l'instant initial (vitesse nulle) et l'instant final

$$\begin{aligned} \Delta E_c = W = F L \Rightarrow \dfrac{1}{2}mv_f^2 = \dfrac{1}{2} \mu_0 w\dfrac{L}{h} I^2 \Rightarrow \boxed{I = \sqrt{\dfrac{mh}{L\mu_0 w}} v_f \approx \text{4.23e5} A} \end{aligned}$$

Il s'agit donc d'un courant considérable !

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : Tec & Doc PCSI 2013 & Ecole plytechnique MP 2000