Bombe nucléaire

Partie: Electromagnetisme

niveau: PT

Lorsqu'il est percuté par un neutron, l'uranium $U^{235}$ peut se décomposer en atomes radioactifs et ré-emmètre plusieurs neutrons. Ce mécanisme permet d'envisager l'existence de réactions en chaines (contrôlées dans un réacteur ou non contrôlées dans une bombe). Soit $n(M,t)$ le nombre de neutron par unité de volume et $j_{th}$ le vecteur flux de neutrons. $n$ est solution de l'équation de diffusion suivante :

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial n}{\partial t} = -\text{div} \vec{j} + \dfrac{\nu-1}{\tau} n \end{aligned}$$

On cherche à déterminer la masse du bloc d'uranium pour laquelle la réaction en chaîne peut s'emballer et devenir explosive. On étudie une sphère d'$U^{235}$ de rayon $R$ et suppose que la diffusion des neutrons dans la sphère s'effectue avec un coefficient de diffusion $D$.

On cherche dans le cas général une solution de la forme $n(r,t) = f(r) g(t)$.

Question:

Montrer que l'équation proposée peut se réécrire :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{g}\dfrac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} = D\dfrac{\Delta f}{f} -\dfrac{1-\nu}{\tau} \end{aligned}$$

Réponse

On obtient à l'aide de la loi de Fick

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial n}{\partial t} = -D \Delta n + \dfrac{\nu-1}{\tau} n \Rightarrow f(r) \dfrac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t}(t) = -D g(t) \dfrac{1}{r} \dfrac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} r^2}\left( rf(r) \right) -\dfrac{1-\nu}{\tau} f(r)g(t) \Rightarrow \dfrac{1}{g(t)}\dfrac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t}(t) = -D\dfrac{\Delta f(r)}{f(r)} - \dfrac{1-\nu}{\tau} \end{aligned}$$

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Question:

En déduire que $g$ est de la forme : $g(t) = g_0 e^{at}$ où $g_0$ et $a$ sont des constantes qu'on ne demande pas de calculer pour le moment. A quelle condition sur $a$ obtiendra-t-on une réaction en chaine ?

Réponse

Les deux quantités sont égales quelque soit $t$ et $r$ donc doivent être constantes. On appelle cette constante $-a$ et on obtient :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} + g a = 0 \Rightarrow g=g_0 e^{at} \end{aligned}$$

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Question:

Montrez que la fonction $r \to r f(r)$ est solution d'une équation différentielle classique.

Réponse

On a $D \Delta f + \dfrac{\nu-1}{\tau} f = a$ soit avec l'expression du laplacien fournie :

$$\begin{aligned} D \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left( r^2\dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} r} \right) + \dfrac{\nu-1}{\tau} f = a f \end{aligned}$$

On multiplie cette équation par $r$ et on obtient simplement :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} r^2}\left( rf \right) + \dfrac{1}{D}\left( \dfrac{\nu-1}{\tau} -a \right) rf = 0 \end{aligned}$$

Et on reconnait l'équation de l'oscillateur harmonique si $\dfrac{\nu-1}{\tau} -a >0$.

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Question:

Dans la sphère, $n(r,t)$ s'annule à tout instant en $r=R$ mais ne s'annule pas à l'intérieur de la sphère. On pose

$$\begin{aligned} k = \sqrt{\dfrac{1}{D} \left( \dfrac{\nu-1}{\tau}-a \right) } \end{aligned}$$

Calculer $f(r)$ à une constante multiplicative près notée $f_0$.

Réponse

On obtient $rf(r) = A \cos(kr) + B \sin(kr)$ soit $f(r) = \dfrac{A}{r}\cos(kr) + \dfrac{B}{r} \sin(kr)$ Cette solution ne devant pas diverger en $z\to 0$, on obtient $A=0$, On observe de plus que $\sin(kR)=0$ soit $k=p\dfrac{\pi}{R},~p\in \mathbb{Z}$. $f(r)$ devant rester positive, on trouve $k=1$ et donc :

$$\begin{aligned} f(r) = \dfrac{f_0}{r} \sin\left( \pi \dfrac{r}{R} \right) \end{aligned}$$

Il n'y a pas d'autres solutions possible si $k=0$ ou bien $k=1$

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Question:

Exprimez le rayon minimal $R_c$ tel qu'il puisse y avoir une réaction en chaine, en fonction de $\nu$, $D$ et $\tau$.

Réponse

On a $k = \dfrac{\pi}{R} = \sqrt{\dfrac{1}{D} \left( \dfrac{\nu-1}{\tau}-a \right) }$. On en déduit $a=\dfrac{\nu-1}{\tau}-D\left( \dfrac{\pi}{R} \right) ^2$.\ Dans le cas limite de la réaction en chaine, on a $a=0$ et donc

$$\begin{aligned} R_c = \sqrt{\dfrac{\pi^2 D \tau}{\nu-1}} \end{aligned}$$

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Question:

On donne pour l'uranium 235 $\rho = \text{19e3} kg.m^{-3}$, $\pi^2 D \tau = \text{2,2e-2} m^2$ et $\nu=2,5$. Calculer la valeur du rayon critique $R_c$ ainsi que de la masse critique correspondante.

Réponse

$R_c = 0,12~m$ et $m_c = \rho \dfrac{4}{3} \pi R_c^3 = 140~kg$

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Pour cette géométrie sphérique, on a $\Delta n = \dfrac{1}{r} \dfrac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} r^2}\left( rn \right)$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : d'après un sujet donné à l'oral au concours Centrale