Ressort en rotation

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère un mobile quasi ponctuel $M$ , de masse $m$ qui peut se déplacer sans frottement le long d'un axe $(OM)$ toujours horizontal et mis en rotation uniforme autour de l'axe $Oz$ vertical, la vitesse angulaire étant nommée $\omega=\dot{\theta}=Cte$ .

Le point $M$ est relié à $O$ par l'intermédiaire d'un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $r_0$ , on a représenté la base cylindro-polaire mobile sur les figures.

Mouvement circulaire uniforme

Dans un premier temps, on suppose que $M$ est immobile par rapport à la tige en rotation c'est à dire qu'il est animé d'un mouvement circulaire uniforme, de rayon $r_e$ dans le référentiel lié au sol qu'on considérera comme galiléen.

Question:

Déterminez l'expression de $r_e$ en fonction des données.

Réponse

Etude du système en base polaire ; la réaction normale de la tige est telle que $\vec R_n \cdot \vec e_r = 0$ . On obtient alors après calcul et à l'équilibre :

$\begin{aligned} r_e = \dfrac{r_0}{1 - m \omega^2/k} \end{aligned}$

Mouvement hors équilibre

On étudie maintenant le mouvement de $M$ autour de sa position d'équilibre sur la tige en rotation. On posera par la suite $x=r-r_e$ .

Question:

Quelle est l'équation différentielle vérifiée par $r$ .

Réponse

L'application du PFD donne :

$\begin{aligned} \ddot{r} + (k/m - \omega^2) r = k/m \times r_0 \end{aligned}$

Question:

En déduire celle vérifiée par $x$ .

Réponse

Le changement de variable proposé donne

$\begin{aligned} \ddot{x} + (k/m - \omega^2) x =0 \end{aligned}$

Question:

Obtient-on toujours un système stable ? Exprimez alorsla pulsation $\Omega$ et la période $T$ des oscillations du cylindre en fonction de $\omega$ lorsque le système est stable.

Réponse

Le système est stable si l'on obtient l'équation de l'oscillateur harmonique soit lorsque $k/m \ge \omega^2$ . Dans ce cas, on a par identification $\Omega = \sqrt{k/m - \omega^2}$

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard