Filtre RC du second ordre

Partie: Electronique

niveau: PTSI

On considère le filtre de la figure ci-dessous avec $u_e(t) = E \cos(\omega t)$

Question:

Prévoir le comportement asymptotique du filtre.

Réponse

En BF, on a les condensateurs qui se comportent comme un interrupteur ouvert donc d'après la loi des nœuds, on a $\underline{u}_s = \underline{u}_e$. En HF, le condensateur se comporte comme un fil donc $\underline{u}_s = 0$. On en déduit qu'il s'agit d'un filtre type passe bas.

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Question:

Déterminez sa fonction de transfert $\underline{H}(\omega)=\dfrac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}}=\dfrac{\underline{U_s}}{\underline{U}}.\dfrac{\underline{U}}{\underline{U_e}}$ sous la forme :

$$\begin{aligned} \underline{H}(\omega)=\dfrac{G_0}{1-x^2+jx/Q} \end{aligned}$$

On identifiera nottament la pulsation propre $\omega_0$ tel que $x = \omega/\omega_0$ et $Q$

Réponse

On a dans un premier de temps (pont diviseur de tension) :

$$\begin{aligned} \dfrac{\underline{U_s}}{\underline{U}} = \dfrac{1}{1+jRC\omega} \end{aligned}$$

De même, en réunissant les deux dipôles de droite en //, on a

$$\begin{aligned} \dfrac{\underline{U}}{\underline{U_e}} = \dfrac{1}{1+R/Z_{eq}} = \dfrac{1}{1+R\times\left(jC\omega + \dfrac{jC\omega}{1+jRC\omega}\right)} \end{aligned}$$

On combine ces deux résultats :

$$\begin{aligned} \dfrac{\underline{U_s}}{\underline{U_e}} &= \dfrac{1}{1+jRC\omega} \times \dfrac{1}{1+R\times\left(jC\omega + \dfrac{jC\omega}{1+jRC\omega}\right)} = \dfrac{1}{1+jRc\omega + jRC\omega + jRc\omega - (Rc\omega)^2} \\ & = \dfrac{1}{1 + j3RC\omega - (RC\omega)^2} \end{aligned}$$

On obtient par identification $\omega_0 = 1/(RC)$ et $Q=1/3$

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Question:

Tracez le diagramme de Bode du filtre

Réponse

$Q=1/3 < 1/\sqrt{2}$ donc il n'y a pas de pic (pas de résonance). On obtient alors le diag. de Bode en gain suivant :

Avec une pente de -40dB/dec en HF

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Question:

Obtenir à partir des résultats précédents l'équation différentielle dont $u_s$ est solution.

Réponse

On a

$$\begin{aligned} & \underline{u}_s \left( 1 + \left( \dfrac{j\omega}{\omega_0} \right) ^2 + j\dfrac{\omega}{\omega_0Q} \right) = \underline{u}_s \\ \Rightarrow &\dfrac{\mathrm{d}^2 u_s}{\mathrm{d} t^2} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\mathrm{d} u_s}{\mathrm{d} t} + \omega_0^2 u_s = \omega_0^2 u_e \\ \Rightarrow &\dfrac{\mathrm{d}^2 u_s}{\mathrm{d} t^2} + \dfrac{3}{RC}\dfrac{\mathrm{d} u_s}{\mathrm{d} t} + \dfrac{1}{(RC)^2} u_s = \dfrac{1}{(RC)^2} u_e \end{aligned}$$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard