Circuit $RC$ comportant deux générateurs

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Les générateurs sont allumés depuis longtemps et à l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Question:

Déterminez et tracez l'allure de la tension $u(t)$ aux bornes du condensateur. Pour vous aider, vous pouvez utiliser le lemme suivant (équivalence entre générateurs de Thévenin et de Norton) :

Réponse

On obtient l'équation différentielle en écrivant la loi des mailles :

$E_\text{eq}-Ri(t)-u(t)=$ avec $i(t)=C.\dfrac{du(t)}{dt}$ d'où $\dfrac{du(t)}{dt}+\dfrac{u(t)}{\tau}=\dfrac{E_\text{eq}}{\tau}$ avec $\tau=R_\text{éq}C$.

La solution est de la forme $u(t)=E_\text{eq}+A.e^{-\dfrac{t}{\tau_\text{eq}}}=\dfrac{2E}{3}+A.\exp(-3t/RC)$ mais pour déterminer la constante d'intégration à l'aide de la condition initiale, il faut se ramener au circuit de départ.

Pour la condition initiale :

Une loi des mailles dans la maille de droite donne $u-R.0-E=0$ soit $u=E$ jusqu'à $O^-$.

Par continuité de la tension aux bornes du condensateur, $u(0^-)=E=u(0^+)=A+E_\text{éq}=A+\dfrac{2E}{3}$ d'où $A=\dfrac{E}{3}$ et finalement $u=\dfrac{E}{3}(2+\exp(-3t/RC))$.

On effectue le tracé en indiquant la valeur de $u(t)$ à $t=0$, l'asymptote et la tangente à l'origine qui coupe l'asymptote en $t=\tau$.

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : V. Grenard