Circuit $RC$ du second ordre

Partie: Electronique

niveau: PTSI

Dans le circuit représenté ci-dessous, à l'instant $t=0$, on ferme l'interrupteur $K$ et le condensateur de droite est chargé sous une tension $U'_0$ tandis que celui de gauche est non chargé.

Question:

Trouvez l'équation différentielle dont $u(t)$ est solution.

Réponse

La LdN donne : $i = i_1 + i_2 + i_3 = - (2u/R + C \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t})$.\ De plus, la LdM donne $u = R'i + u'$. On dérive : $\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} = R'\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} + i/C$. On remplace alors le courant par son expression :

$$\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} = -R'(2\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}/R + C \dfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} t^2}) - (2u/R + C \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t})/C \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} t^2} + \dfrac{1+2R'/R}{R'C} \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + \dfrac{2}{RR'C^2}u = 0 \end{aligned}$$

---

Question:

Démontrez que cette équation différentielle a pour solution une fonction de la forme $u(t)=A.e^{-\dfrac{t}{\tau_1}}+B.e^{-\dfrac{t}{\tau_2}}$ où $A$, $B$, $\tau_1>0$ et $\tau_2>0$ sont des constantes.

Réponse

On a par identification $\omega_0 = \dfrac{\sqrt{2}}{C\sqrt{RR'}}$ puis $\omega_0/Q = \dfrac{1+2R'/R}{R'C} \Rightarrow Q = \sqrt{2}\dfrac{\sqrt{R'/R}}{1+2R'/R}$. On pose alors $x = R'/R$ d'où $Q = \sqrt{2} \dfrac{\sqrt{x}}{1+2x}$. La dérivée $\dfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$ lorsque $x=1/2$ (et on vérifie qu'il s'agit d'un maximum de $Q$ donc $\forall x >0 ,~Q<Q(1/2) = 1/2$. Le facteur de qualité est donc bien toujours inférieur à $1/2$ et donc on obtient un régime apériodique d'où le résultat ($u_{part} = 0$).

---

Question:

Combien de conditions initiales est-il nécessaire d'écrire pour résoudre cet exercice ? Les déterminer.

Réponse

Il en faut deux : $u(0^+) = u(0^-) = 0$ (condensateur de gauche initialement déchargé). La deuxième CI est plus difficile à obtenir car on ne peut utiliser une relation de continuité. Il convient alors d'appliquer les LdN et LdM à $t=0^+$

LdN et ldM en $t=0^+$

$$\begin{aligned} 2u(0^+)/R + C \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}(0^+) = i(0^+) \text{~~~et~~} u'(0^+) + R'i(0^+) = u(0^+) \end{aligned}$$

or $u(0^+)=0$ et $u'(0^+) = U_0'$ d'après l'énoncé. On peut combiner ces résultats et obtenir $\boxed{\dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}(0^+) = - \dfrac{U_0'}{R'C} }$

---

Question:

Représentez l'allure de $u(t)$.

Réponse

Régime apériodique : absence d'oscillations. On a une asymptote horizontale confondue avec l'axe des abscisses. Il convient alors de placer le point initial ainsi que sa tangente et de relier le tout.

---

auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) :

source(s) : ?