La couleur du ciel

Partie: Electromagnetisme

niveau: PTSI

Pour décrire les interactions entre une onde lumineuse (électromagnétique) caractérisée par le vecteur champ électrique $\vec{E}(t)=\vec{E}_0 \cos \omega t=E_0 \cos(\omega t).\vec{e}_x$ et les électrons de la couche externe d'un atome, on utilise l'hypothèse de l'électron élastiquement lié de J.J THOMSON.

Question:

Établissez l'équation différentielle et vectorielle du mouvement d'un tel électron quand il est excité par $\vec{E}$ en admettant qu'il est rappelé vers le centre $O$ de l'atome par une force de rappel $\vec{F}=- k \overrightarrow{OM}$ et qu'il est freiné par une force proportionnelle à sa vitesse $\vec{f}=-\lambda \vec{v}$.

On notera $q$ et $m$ la charge et la masse de l'électron et on posera $2\alpha=\dfrac{\lambda}{m}$ et $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

Réponse

En considérant que le référentiel lié au noyau $O$ est galiléen (ce qui est loin d'être le cas), on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique (PFD) à l'électron dont on néglige le poids :

$$\begin{aligned} & m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}_\text{éla}+\vec{F}_\text{éle}+\vec{f} \\ \Rightarrow &m\vec{a}=-e.\vec{E}(t)-k.\vec{r}-\alpha.\vec{v} \Rightarrow \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}+2\alpha \dfrac{d\vec{r}}{dt}+\omega_0^2 \vec{r}=\dfrac{q}{m}\vec{E}(t) \end{aligned}$$

en posant $2\alpha=\dfrac{\lambda}{m}$ et $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

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Question:

Démontrez, par projection de l'équation précédente, qu'en régime permanent l'électron oscille parallèlement à $\vec{E}_0$. On notera $x(t)$ son élongation.

Réponse

Par projection du PFD selon les trois axes, on obtient :\

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$\ddot{x}+2\alpha \dot{x}+\omega_0^2 x=\dfrac{q}{m}E(t)=\dfrac{qE_0}{m} \cos \omega t$ $\ddot{y}+2\alpha \dot{y}+\omega_0^2 y=0$ $\ddot{z}+2\alpha \dot{z}+\omega_0^2 z=0$

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Les équations en $y(t)$ et $z(t)$, sans second membre, traduisent un régime libre et $y(t)$ et $z(t)$ vont tendre vers 0 après un régime transitoire plus ou moins long.

Par contre, à la fin de ce régime transitoire, $x(t)=X_m \cos (\omega t+\varphi)$ : régime sinusoïdal forcé.

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Question:

Calculez $\underline{X}(\omega)$ l'amplitude complexe de l'élongation $x(t)$ puis $A(\omega)$ l'amplitude de son accélération $\ddot{x}(t)=a_x(t)$.

Réponse

En notation complexe, on pose $\underline{x}(t)=\underline{X}.e^{j \omega t}$ où $\underline{X}$ est l'amplitude complexe de $x(t)$. On en déduit $\dot{\underline{x}}(t)=j\omega \underline{X}.e^{j \omega t}$ et $\ddot{\underline{x}}(t)=-\omega^2\underline{X}.e^{j \omega t}$ et en remplaçant dans la projection du PFD selon $x$, on trouve

$$\begin{aligned} -\omega^2\underline{X}.e^{j \omega t}+2j\omega \alpha \underline{X}.e^{j \omega t}+\omega_0^2\underline{X}.e^{j \omega t}=\dfrac{qE_0}{m}e^{j \omega t} \Rightarrow \underline{X}(\omega)=\dfrac{qE_0}{m(\omega_0^2-\omega^2+2\alpha j \omega)} \end{aligned}$$

puis $A=|-\omega^2 \underline{X}|=\dfrac{q\omega^2E_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\alpha^2\omega^2}}$ l'amplitude de son accélération.

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Question:

Cet atome est éclairé par de la lumière blanche composée d'ondes dont les pulsations sont comprises entre $\omega_1$ (rouge) et $\omega_2$ (violet). Sachant que $\omega_1$ et $\omega_2$ sont tous deux très inférieurs à $\omega_0$, montrez que, dans ces conditions, l'amplitude $A(\omega)$ est proportionnelle à $\omega^2$.

Réponse

Pour $\omega \ll \omega_0$, $A \simeq \dfrac{q\omega^2E_0}{m\sqrt{\omega_0^4}} \simeq \dfrac{q\omega^2}{m\omega_0^2}E_0$ proportionnel à $\omega^2$.

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Question:

Sachant qu'un électron accéléré rayonne une puissance lumineuse $P$ proportionnelle au carré de son accélération, expliquer pourquoi le ciel est bleu.

Réponse

Les électrons rayonnent une puissance $P$ proportionnelle à $A^2$ c'est à dire à $\omega^4$ où $\omega=2\pi f=2\pi\dfrac{c}{\lambda}$.

On peut calculer $\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{\omega_1^4}{\omega_2^4}=\dfrac{\lambda_2^4}{\lambda_1^4}$ et en prenant $\lambda_1\simeq 470$ nm (bleu) et $\lambda_2\simeq 650$ nm (rouge), on obtient

$$\begin{aligned} P_1(\text{bleu})=\dfrac{\lambda_2^4}{\lambda_1^4}P_2(\text{rouge}) \simeq 4P_2(\text{rouge}) \end{aligned}$$

Conclusion : après absorption de la lumière blanche du soleil, les électrons de l'atmosphère diffusent d'énergie lumineuse dans le domaine du bleu ce qui explique que le ciel nous apparaisse de cette couleur (les jours de beau temps).

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

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