Recherche des modes propres acoustiques d'un tuyau

Partie: Electromagnetisme

niveau: PTSI

La colonne d'air contenue dans un instrument à vent (flûte, clarinette...) ou dans un tuyau d'orgue vibre selon des modes propres correspondant à des conditions limites données.

Dans une modélisation très simple, on envisage deux types de conditions :

• si l'extrémité du tuyau est ouverte, la surpression acoustique, notée $P(x,t)$, **est nulle**à cette extrémité; (la pression est imposée par l'extérieur)

• si l'extrémité du tuyau est fermée, l'amplitude de variation de la surpression acoustique $P(x,t)$ est **maximale**à cette extrémité.

On considère un tuyau de longueur $L$ dans lequel la célérité des ondes sonores est notée $v$.

Question:

[[a]]{#a label="a"}Détermine les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes. Représentez graphiquement la surpression dans le tuyau pour le troisième mode, les modes étant classés par fréquence croissante.

Réponse

$L=n\dfrac{\lambda}{2}$ donc $f=n\dfrac{c}{2L}$

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Question:

[[b]]{#b label="b"}Même question si l'une des deux extrémités du tuyau est ouverte et l'autre fermée.

Réponse

$L=n\dfrac{\lambda}{2}+\dfrac{\lambda}{4} =\dfrac{c}{2f}\left( n+\dfrac{1}{2} \right)$ donc $f=\dfrac{c}{2L}\left( n+\dfrac{1}{2} \right)$.

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test

$$\begin{aligned} \Rightarrow pif paf \end{aligned}$$

Question:

Première application : les grands orgues peuvent produire des notes très graves. Calculez la longueur d'onde d'un son de fréquence $34$ $Hz$, en prenant la valeur de la célérité du son à 0°C dans l'air, soit $v=331$ $m/s$. Calculez la longueur minimale d'un tuyau produisant cette note (considérez pour cela les configurations [a]{reference-type="ref" reference="a"}et [b]{reference-type="ref" reference="b"}).

Réponse

$\lambda = c/f=331/34 = 9,7$ $m$. La longueur minimale est $L=\dfrac{\lambda}{4}=2,4$ $m$.

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Question:

Deuxième application : on peut modéliser très grossièrement une clarinette par un tube fermé au niveau de l'embouchure et ouvert à l'extrémité de l'instrument. Expliquez pourquoi le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques impairs.

Réponse

on est dans le cas (b) de la première question, le premier harmonique est pour $n=0$ et le 2e pour $n=1$ vaut 3 fois le premier et ainsi de suite à cause du $n+\dfrac{1}{2}$ : quand $n$ augmente de 1, la fréquence augmente de $2f_0$

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auteur(s) : Maxence Miguel-Brebion

contibuteur(s) : Vincent Grenard

source(s) : n.a.